7. ¨Ubung zur Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische Physik
Prof. Thomas Gasenzer, Dr. Tilman Enss
Universität Heidelberg
Sommersemester 2013
7. Übung zur Quantenmechanik
Abgabe der schriftlichen Aufgaben am 31.5.2013 am Anfang der Übung;
Besprechung der Lösungen in der Übung am 6./7.6.2013.
(6 Punkte)
Aufgabe 19: Kohärente Zustände
Der Grundzustand des harmonischen Oszillators erfüllt die Gleichung a|0i = 0. Der
Weyl-Operator
D(α) = exp(αa† − α∗ a)
(1)
transformiert den Grundzustand in einen kohärenten Zustand |αi = D(α)|0i mit α ∈ C.
(a) Zeigen Sie, dass der unitäre Operator D(α) eine Verschiebung von a um α bewirkt, d.h. D † (α)aD(α) = a + α, und dass daher |αi ein Eigenzustand von a mit
Eigenwert α ist.
Hinweis: Benutzen Sie die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel aus Aufgabe 9d.
(b) Berechnen Sie die Erwartungswerte hxi und hpi und ihre Schwankungen ∆x und
∆p im Zustand |αi und zeigen Sie, dass kohärente Zustände immer die minimale
Unschärfe besitzen. In welchem Limes werden die relativen Schwankungen klein?
(7 Punkte)
Aufgabe 20: Ramsauer-Effekt
Ramsauer beobachtete im Jahr 1921, dass Edelgase wie Helium, Argon oder Neon bei
bestimmten Werten der Energie transparent für einen niederenergetische Elektronenstrahl werden. Das kann man mit einem eindimensionalen Modell verstehen. Betrachten
Sie eine stationäre Lösung der Schrödingergleichung für ein Teilchen der Masse m bei
positiver Energie E in dem Potential (V0 > 0)
V (x) = 0 für |x| > a,
V (x) = −V0
für |x| ≤ a.
(2)
Wir setzen q 2 = 2m(V0 + E)/~2 , k 2 = 2mE/~2 und sind interessiert an Lösungen der
Form
ψ(x) = eikx + Ae−ikx
ψ(x) = Be
iqx
−iqx
+ Ce
ψ(x) = Deikx
(a) Was sind die Anschlussbedingungen bei x = ±a?
1
x ≤ −a,
(3)
−a < x ≤ a,
(4)
x > a.
(5)
(b) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem, welches Sie in (a) aufgestellt haben. Wählen
Sie dazu, wie in der Vorlesung angesprochen, eine Matrix-Schreibweise [vgl. Vorlesungsnotizen S. 3.33f. mit der Ersetzung V0 7→ −V0 , κ = iq]. Berechnen Sie die
Transmissions-Wahrscheinlichkeit T = |S(E)|2 = |D|2 sowie die Reflektions-Wahrscheinlichkeit R = |A|2 . Überprüfen Sie R + T = 1.
Zwischenergebnis: T = [1 + (q/k − k/q)2 sin2 (2qa)/4]−1 .
(c) Zeigen Sie, dass T = 1 wird für bestimmte Energiewerte. Interpretieren Sie dieses
Ergebnis im Hinblick auf den Ramsauer-Effekt.
Aufgabe 21: Tunnelaufspaltung im Doppeltopf
(7 Punkte)
Das Ammoniak-Molekül hat zwei klassische Konfigurationen, bei denen sich das Stickstoff-Atom entweder auf der einen oder auf der anderen Seite der drei Wasserstoff-Atome
befindet. Diese Situation lässt sich durch ein Potential mit zwei entarteten Minima (Doppeltopf) beschreiben. Ein quantenmechanisches Teilchen kann zwischen den beiden Minima hin- und hertunneln, was zu einer Aufhebung der Energie-Entartung durch Aufspaltung der Eigenenergien des symmetrischen und des antisymmetrischen Zustandes
um ~∆ führt.
(a) Ein einfaches Modell-Potential für einen Doppeltopf ist
V (x) = −
~2
[δ(x + a) + δ(x − a)].
mλ0
(6)
Verwenden Sie einen Ansatz für die Wellenfunktion der Form ψ(x) = ceκx + c0 e−κx
mit κ > 0. Bestimmen Sie aus den Anschlussbedingungen (vgl. Aufgabe 12) die
Gleichung für die Energien der gebundenen Zustände En < 0 allgemein als Funktion von λ0 . Wieviele symmetrische bzw. antisymmetrische Zustände gibt es?
Zwischenergebnis: κλ0 = 1 ± exp(−2κa).
(b) Berechnen Sie (ohne Normierung) die Wellenfunktionen ψg (x) (gerade/symmetrisch) und ψu (x) (ungerade/antisymmetrisch) der beiden untersten Zustände im
Grenzfall λ0 a (κ ≈ 1/λ0 ) und deren Energiedifferenz ~∆.
(c) Skizzieren Sie für diesen Grenzfall die Wahrscheinlichkeitsdichte als Funktion von
x, für die beiden Wellenfunktionen
√
√
(7)
ψR (x) = ψg (x) + ψu (x) / 2 und ψL (x) = ψg (x) − ψu (x) / 2.
Bestimmen Sie die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte |ψR (x, t)|2 für
einen Anfangszustand ψ(x, t = 0) = ψR (x) und interpretieren Sie das Ergebnis.
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