Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik 3

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Mathematische Ergänzungen zur Experimentalphysik 3
Prof. Dr. B. Rethfeld, I. Klett, N. Brouwer
Abgabe: 28.01.2015
Aufgabe 1:
Der Paritätsoperator Π̂, definiert durch die Raumspiegelung Π̂ϕ(x) = ϕ(−x), ist hermitesch
Π̂† = Π̂, und wegen Π̂2 = Î auch unitär
a) Welche Eigenwerte kann Π̂ besitzen?
b) Gegeben sei der Ortsoperator x̂ mit x̂ϕ(x) ≡ xϕ(x) und der Impulsoperator p̂ mit
d
ϕ(x). Zeigen Sie, dass die Antikommutatorrelationen {Π̂, x̂} = 0 und
p̂ϕ(x) ≡ −i~ dx
{Π̂, p̂} = 0 erfüllt sind.
2
p̂
c) Zeigen Sie: Π̂ vertauscht mit dem Operator T̂ = 2m
(kinetische Energie) und für symmetrische Funktionen V (x) = V (−x) auch mit dem Operator V̂ = V (x̂) (potentielle
Energie oder einfach Potential).
Was folgt daraus für die Eigenfunktionen ϕ(x) des so genannten
p̂2
„Hamiltonoperators“ Ĥ = 2m
+ V (x̂) für ein symmetrisches Potential?
Aufgabe 2:
Betrachten Sie die komplexwertige Funktionen ϕ(x), ψ(x),... auf einem Intervall a ≤ x ≤ b
der reellen Achse mit dem Skalarprodukt
Zb
hϕ|ψi =
ϕ∗ (x)ψ(x)dx
a
d
davon überzeugen, dass die Eigenschaften
Wir wollen uns am Beispiel des Operators k̂ = −i dx
eines Operators und seines Spektrums neben der Definition des Operators auch von den
Randbedingungen abhängen.
a) Zeigen Sie folgende Beziehung
hϕ|k̂ † |ψi = i [ψ(b)ϕ∗ (b) − ψ(a)ϕ∗ (a)] + hϕ|k̂|ψi .
b) Unter welcher Bedingung ist k̂ hermitesch?
c) Zeigen Sie, dass die Funktionen ϕ(x) = ceikx Eigenfunktionen von k̂ zum Eigenwert k
sind.
d) Für welche Werte von k bleibt die Eigenfunktionen für |x| → ∞ beschränkt (d. h.
endlich)?
e) Was ändert sich für a = −L/2, b = +L/2 und periodische Randbedingungen
ϕ(x + L) = ϕ(x) ?
Aufgabe 3:
Gegeben sei der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators
Ĥ =
1
p̂2
+ mω 2 x̂2
2m 2
a) Leiten Sie die Ortsdarstellung der Gleichung Ĥ|ni = E|ni her. Dabei lautet der Imd
pulsoperator in Ortsdarstellung p̂ = −i~ dx
2
b) Zeigen Sie, dass ψ0 (x) = C0 e−αx eine Eigenfunktion von Ĥ ist. Hierbei stellt ψ0 (x) den
Grundzustand (Zustand der niedrigsten Energie) dar. Bestimmen Sie auch α und die
Normierungskonstante C0 .
c) Was sind die Erwartungswerte von x̂ und p̂ im Zustand |ψ0 i?
d) Das
sich nun im Zustand |ϕi, der in Ortsdarstellung durch ϕ(x) =
pTeilchen befinde
2
A( |x| + i)e−αx gegeben ist. Dabei ist A ∈ R eine Normierungskonstante und α das
gleicheR wie in b). Was p
ist nun der Erwartungswert von x̂?
1
2 −λx2
dx = 2 λπ3
Tipp: x e
e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Teilchen im Zustand |ϕi bei einer Messung der
Energie in den Energieeigenzustand |ψ0 i übergehen?
Tipps:
Z p
2
|x|e−λx dx ≈ 1.22λ−3/4
r
Z
π
−λx2
e
dx =
λ