Prof. Dr. Georg Jansen

Blatt 2
18. 4. 2012
Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I
SS 2012 (Prof. Dr. Georg Jansen)
1. Benutzen Sie die Beziehung von de Broglie zur Berechnung der Wellenlänge
der folgenden Objekte und vergleichen Sie die Wellenlängen ggfs. mit der
Größe der Objekte:
(a) Eine Eisenkugel mit (i) Radius 1 cm und Geschwindigkeit 10 km/h,
(ii) Radius 1 mm und Geschwindigkeit 1 mm/sec.
(b) (i) Ein Elektron und (ii) ein Proton, welche eine Beschleunigungsspannung von 2 kV durchlaufen haben.
(c) Ein typisches Atom eines Helium-Gases bei 300 K (Tip: benutzen Sie,
dass die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens = (3/2)kT ist).
2. Neben dem Begriff der Wellenfunktion ist der Begriff des Operators von
zentraler Bedeutung in der Quantenmechanik. Die Anwendung eines Operators Ô auf eine Funktion ψ(x) ordnet dieser eine andere Funktion φ(x) in
eindeutiger Weise zu: Ôψ(x) = φ(x).
(a) Ein multiplikativer Operator wie Ô = x· multipliziert eine Funktion,
ein Differentialoperator wie Ô = d/dx bildet eine Ableitung der Funktion. Berechnen Sie φ(x) für Ô = x· und Ô = d/dx, wenn ψ(x) = x
und ψ(x) = sin x.
(b) REine weitere Operatorform ist die des Integraloperators: Ôψ(x) =
b
′
′
′
′
a K(x, x )ψ(x )dx , wobei der sogenannte Integralkern K(x, x ) eine
Funktion der beiden Variablen x und x′ ist. Berechnen Sie φ(x) für
K(x, x′ ) = exp(x′ − x), a = 0, b = 2, wenn ψ(x) = exp(−x).
(c) Unter einem linearen Operator versteht man einen Operator, für den
Ô(c1 φ1 (x)+c2 φ2 (x)) = c1 Ôφ1 (x)+c2 Ôφ2 (x) gilt, wobei c1 und c2 (reelle
oder komplexe) Zahlen sind. Welche der in (a) und (b) vorkommenden
Operatoren sind linear?
(d) denken Sie sich zwei Beispiele für nichtlineare Operatoren aus.
Viel Erfolg!
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