¨Ubungen zur Theoretischen Physik III

Übungen zur Theoretischen Physik III
WiSe 2012/2013
Mannel, Lange, Böer, Iljuchin, Wirth
Blatt 5
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Ausgabe: Fr., 09.11.2012
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Abgabe: Fr., 16.11.2012
Aufgabe 14: Hermitesche und unitäre Operatoren
6 P
Hermitesche Operatoren sind durch die Eigenschaft H = H † , unitäre Operatoren durch
U · U † = U † · U = I charakterisiert. Beweisen Sie die folgenden Beziehungen:
a)
b)
c)
d)
Der Operator C = A · B mit A = A† und B = B † ist nur dann hermitesch, falls
[A, B] = 0.
1 P
1 P
Die Operatoren Cn = (A + B)n , n ∈ N, sind hermitesch, falls A = A† und B = B † .
Die Operatoren C+ = A + A† , C− = i(A − A† ) und CA = A · A† sind für beliebige
Operatoren A hermitesch.
1 P
1 P
hA2 i ≥ 0, falls A = A† .
e)
(∆A)2 = hA2 i − hAi2 mit h. . .i = hψ| . . . |ψi ist Null, wenn |ψi ein normierter
Eigenzustand des hermiteschen Operators A ist.
f)
Für unitäre Operatoren U und |ψi = U |φi gilt: hψ|ψi = 1 falls hφ|φi = 1.
Die Zustände |ψn i = U |φn i sind orthonormiert, falls hφn |φm i = δnm .
1 P
1 P
Bemerkung: Der Operator
exp (iH) =
∞ n
X
i
n=0
n!
Hn
ist unitär, falls H = H † .
Aufgabe 15: Translationsoperatoren
4 P
Der Translationsoperator Tˆa bewirkt eine Verschiebung des Koordinatensystems in x-Richtung
um die Länge a.
Tˆa Ψ(x) ≡ Ψ(x + a)
a)
1 P
Geben Sie die Fourier-Zerlegung von Ψ(x) und von Ψ(x + a) an.
bitte wenden
b)
Man kann Tˆa als Exponential eines Operators K̂ ansetzen: Tˆa = exp[ ~i aK̂]. K̂ heißt
der Generator der Translation. Bestimmen Sie K̂. Welchem physikalischen Operator entspricht dieser Generator?
c)
Analog kann man eine Translation in der Zeit durch den Zeitentwicklungsoperator
Û (t) = exp[− ~i Ĥt] mit Û (t)Ψ(0) = Ψ(t) ausdrücken. Der Hamilton-Operator ist also
der Generator der Zeittranslation. Zeigen Sie, dass aus dieser Relation die SchrödingerGleichung folgt.
2 P
1 P
Aufgabe 16: Dirac-Schreibweise
10 P
Viele Eigenschaften der Vektoren und Operatoren im Hilbertraum treten schon im R3 auf,
welcher in der folgenden Aufgabe in der Dirac-Schreibweise behandelt werden soll. Gegeben
sei die orthonormale Basis
 
 
 
1
0
0





|1i = 0 , |2i = 1 , |3i = 0
0
0
1
sowie der Zustand
und der Operator A =
1
|ψi = √ |1i + |2i + |3i
3
P3
i,j=1 Aij |iihj|
mit


3 1 0
(Aij ) = (A†ij ) = 1 3 0 .
0 0 1
a)
b)
1 P
2 P
Berechnen Sie die Eigenwerte ak und die zugehörigen orthonormierten Eigenvektoren |ak i des Operators A.
c)
2 P
d)
2 P
e)
f)
Berechnen Sie den Mittelwert hAi = hψ|A|ψi.
Bestimmen Sie die Matrix Ãkl = hak |A|al i und zeigen Sie, dass Ãkl = ak δkl .
P
Bestimmen Sie die Komponenten ψk in der Zerlegung |ψi = k ψk |ak i.
Drücken Sie den Erwartungswert hψ|A|ψi in der Basis {|ak i} aus. Wie wäre die
Interpretation dieses Ergebnisses im Rahmen der Quantenmechanik ?
2 P
1 P
Zeigen Sie, dass
P = |1ih1| + |3ih3|
ein Projektionsoperator ist, d.h. die Gleichungen P 2 = P , P † = P erfüllt. Was passiert,
wenn P auf einen beliebigen Zustand |φi angewandt wird?