Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
http://www.tu-berlin.de/?qm15
27. Mai 2015
Prof. Dr. Harald Engel
Judith Lehnert, Benjamin Lingnau, Maria Zeitz, Julian Böll, Alexander Ziepke
7. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Fr. 05.06.2015 bis 14 Uhr, Briefkasten ER-Gebäude
Aufgabe 16 (1+1+2=4 Punkte): Unitäre Transformationen
Eine unitäre Transformation von Zuständen |ψi und Operatoren Â mittels eines unitären Operators
Û ist definiert durch
|ψ 0 i = Û |ψi
Â0 = Û ÂÛ † .
Dabei gilt für den Operator Û : Û Û † = Û † Û = 1̂. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften solcher
unitärer Transformationen:
(a) Die Eigenwerte unitärer Operatoren können nur komplexe Zahlen vom Betrag Eins sein.
(b)
†
0
Â0
= Â† Der transformierte des adjungierten Operators und der adjungierte des
transformierten Operators stimmen überein. Das bedeutet, dass unitäre Transformation und
Adjungation eines Operators vertauschbar sind.
(c) Für einen beliebigen hermiteschen Operator Â ist der Operator Û = exp(iλÂ) unitär.
Welche Voraussetzung muss λ dazu erfüllen?
Aufgabe 17 (2+2+6=10 Punkte): Leiteroperatoren des harmonischen Oszillators
Im Zusammenhang mit der Diagonalisierung des harmonischen Oszillators wurden in der Vorlesung
die Auf- und Absteigeoperatoren
r b
1 x̂
â :=
− i p̂ ,
2 b
~
r 1 x̂
b
â :=
+ i p̂
2 b
~
†
eingeführt. Hier ist b =
~
mω
1
2
die Oszillatorlänge. Vgl. Übungsblatt 4.
(a) Zeigen Sie analog zum Vorgehen in der Vorlesung, dass
a† |ni =
√
n + 1 |n + 1i .
Seien nun die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators in Ortsdarstellung durch
1
1
ψ0 (x) = π − 4 b− 2 exp[− 12 (x/b)2 ] und
ψn (x) = N â†n ψ0 (x), mit n ∈ N
gegeben.
(b) Leiten Sie ψ0 (x) aus der Besetzungszahldarstellung her.
1
7. Übung TPII SoSe 15
(c) Zeigen Sie, dass nun folgt
x x2
1
1
Hn
ψn (x) = √ p√
e− 2b2
n
b
b
π2 n!
Wobei Hn ( xb ) die von Blatt 4 bekannten Hermite-Polynome sind.
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass man die Hermite Polynome auch als
2
2
d n
x
x
x−
exp −
Hn (x) = exp
2b
dx
2b
darstellen kann. Vollständige Punktzahl wird allerdings nur erreicht, wenn Sie zeigen, dass
diese Darstellung der in Blatt 4 gegebenen Standarddarstellung entspricht.
Aufgabe 18 (1.5+1.5+1+1+2=7 Punkte): Harmonischer Oszillator in Matrixdarstellung
n
Wir betrachten die Eigenzustände |ni = √1n! (â+ ) |0i des Hamiltonoperators Ĥ des Harmonischen Oszillators in Matrixdarstellung. Die Eigenzustände lauten dann:
 
 
 
1
0
0
 0 
 1 
 0 
 
 
 
 
 
 
|0i :=  0  ,
|1i :=  0  ,
|2i :=  1  ,
··· .
 0 
 0 
 0 
 
 
 
..
..
..
.
.
.
Berechnen Sie die Matrixform des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators â+ und â, des Orts- und
Impulsoperator x̂ und p̂ und des Hamiltonoperators Ĥ in dieser Basis. Leiten Sie für den letzten
Fall zunächst einen Ausdruck für den Hamiltonoperator her, der nur von â und â† abhängt.
Wochenplan
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12-14
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14-16
16-18
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Fr
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EW 229 AZ
EW 229 MZ
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AZ
BL
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JL
MZ
Sprechstunden
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2
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