¨Ubungen zur Vorlesung: Quantenmechanik

Prof. Dr. R. Egger
Msc. A. Kundu
SS 2012
Blatt 8
Übungen zur Vorlesung: Quantenmechanik
Abgabe bis Mi, 20. Juni 2012, 12:00 Uhr
Übungstermine:
Gruppe 1: Do 21.06, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M
Gruppe 2: Do 21.06, 10:30 - 12:30, Raum 25.32.O2.51
Gruppe 3: Fr 22.06, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M
(S . Weiß)
(A. Hütten)
(D. Klöpfer)
Aufgabe 20: Grundlagen
4 Punkte
a) Wann nennt man einen Operator A unitär? Was ist charakteristisch für unitäre Transformationen?
(1 Punkt)
b) (i) Was ist ein dyadisches Produkt? Wann ist ein dyadisches Produkt ein Projektionsoperator? (ii)
PA projiziere auf den Unterraum HA eines Hilbertraumes H. Welche Eigenwerte und Eigenzustände
besitzt PA ?
(1 Punkt)
c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Observablen des Heisenbergbildes und denen des Schrödingerbildes? Wie lautet die Bewegungsgleichung der Observablen im Heisenbergbild? Was ist eine Konstante der Bewegung?
(1 Punkt)
d) Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Ortsoperator X und Impulsoperator P des (eindimensionalen) harmonischen Oszillators und den Leiteroperatoren a, a† ? Was können Sie über die Eigenwerte
von N = a† a aussagen? Wie beweist man, dass mit |νi auch a|νi und a† |νi Eigenzustände zu N sind?
Zu welchen Eigenwerten gehören sie?
(1 Punkt)
Aufgabe 21: Quantenmechanisches Teilchen im elektrischen Feld
3 Punkte
Ein Teilchen der Masse m mit elektrischer Ladung q bewegt sich unter dem Einfluss eines harmonischen
Potentials und eines homogenen elektrischen Feldes der Stärke ε in einer Dimension. Der Hamilton
Operator des Systems ist gegeben als
H=
p2
1
+ mω 2 x2 − qεx .
2m 2
1
(1)
Übungen zur Vorlesung: Quantenmechanik, Blatt 8
a) Finden Sie die entsprechenden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (b† und b) des Systems und
berechnen Sie die Eigenenergien, indem Sie den Hamilton Operator auf die folgende Form bringen
1
†
H = bb +
~ω + C .
2
(2 Punkte)
b) Für ε = 0 befindet sich das System im Grundzustand des ungestörten harmonischen Oszillators |0i.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das System im Grundzustand des Hamiltonians in Gl. (1) zu
finden?
h
i
R∞
p π −L2 α/2
2
2
Hinweis: −∞ e−αx e−α(x−L) dx = 2α
e
, für α > 0
(1 Punkt)
Aufgabe 22: Kommutatoren mit Bahndrehimpulsoperator
5 Punkte
a) Berechnen Sie die folgenden Kommutatoren mit den kartesischen Komponenten [i = x, y, z] des Bahndrehimpulsoperators L:
1) [Li , r2 ] ,
2) [Li , p2 ] ,
3) [Li , p · r] .
(2 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass der Hamiltonoperator H = p2 /(2m) + V mit allen drei Komponenten von L kommutiert, wenn V = V (r) nur von r = |r| abhängt. Gilt dhLi/dt = 0 für jedes kugelsymmetrische
Potential?
(1 Punkt)
c) Berechnen Sie die Kommutatoren [Li , L0k ], wobei die Drehimpulsoperatoren durch L = r × p und
L0 = r0 × p definiert sind. L und L0 entsprechen hierbei Drehimpulsoperatoren bezüglich verschiedener Drehpunkte, wobei r als r0 = r + a ex = r + (a, 0, 0) gewählt ist.
(2 Punkte)
Aufgabe 23: Teilchen im kugelsymmetrischen Potential
5 Punkte
Die Wellenfunktion eines Teilchens in einem kugelsymmetrischen Potential sei durch
ψ(r) = (x + y + 3z) f (r)
p
gegeben, wobei f (r) eine willkürliche Funktion von r = x2 + y 2 + z 2 ist.
a) Zeigen Sie, dass ψ(r) eine Eigenfunktion von L2 ist. Bestimmen Sie die zugehörige Quantenzahl l.
(2 Punkte)
[Hinweis: Schreiben Sie ψ(r) in Kugelkoordinaten.]
b) Was sind die Wahrscheinlichkeiten Pm , das Teilchen in den verschiedenen Eigenzuständen von Lz mit
m ∈ {−l, −l + 1, ..., l} zu finden?
(3 Punkte)
[Hinweis: Finden Sie die Ausdrücke für alle relevanten Kugelfunktionen (S. 78 im Skript).]
2