Theoretische Physik II für LA Prof. M. Fleischhauer WS 2015/2016
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Theoretische Physik II für LA Prof. M. Fleischhauer WS 2015/2016
5. Übungsblatt
Abgabe: Mo., 30.11.2015, 10:00 Uhr
Allgemeine Hinweise: Die mit gekennzeichneten Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind als Hausaufgaben zu
bearbeiten und in den dafür vorgesehenen Briefkasten im 5. Stock, Geb. 46 abzugeben.
Aufgabe 13. Operatoren (4 Punkte)
Seien Â, B̂ zwei Operatoren. Zeigen Sie:
(a)
(ÂB̂)† = B̂ † †
h
i
h
i h
i
ÂB̂, Ĉ = Â B̂, Ĉ + Â, Ĉ B̂
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
ÂB̂, Ĉ D̂ = ÂĈ B̂, D̂ + Â B̂, Ĉ D̂ + Ĉ Â, D̂ B̂ + Â, Ĉ D̂B̂.
(b) Seien Â, B̂ nun hermitesche Operatoren. Zeigen Sie, dass
h
i
i Â, B̂
hermitesch ist.
(c) Es sei K̂ ein selbstadjungierter Operator mit einem diskreten Spektrum σP (K̂) = {k1 , k2 , k3 , . . . }.
Welche Eigenschaft hat der Operator A = eiK̂ ? Wodurch ist sein Spektrum charakterisiert?
Aufgabe 14. Baker-Hausdorff-Theorem (6 Punkte)
(a) Man zeige, dass für beliebige Operatoren  undB̂ und komplexe Zahlen x gilt:
ii
h
i
1 h h
Â, Â, B̂ x2 + . . .
ex B̂e−x = B̂ + Â, B̂ x +
2!
Hinweis: Man betrachte die Taylorreihenentwicklung der Funktion fˆ(x) = ex B̂e−xÂ
(1)
(b) Unter Verwendung von Gleichung (1) beweise man das Baker-Hausdorff-Theorem:
1
1
e eB̂ = eÂ+B̂+ 2 [Â,B̂ ] = eÂ+B̂ e 2 [Â,B̂ ]
h h
ii h h
ii
falls Â, Â, B̂ = B̂, Â, B̂ = 0.
Hinweis: Man betrachte die Funktion fˆ(x) = ex exB̂ und finde für diese eine Differentialgleichung erster Ordnung durch Ableiten von fˆ und der Verwendung von e−x e+x = 1.
Aufgabe 15. Orbitale
Die Matrizen
0 1 0
~
L̂x ≡ √ 1 0 1 ,
2 0 1 0
0 −i 0
~
L̂y ≡ √ i 0 −i
2 0 i
0
1 0 0
und L̂z ≡ ~ 0 0 0
0 0 −1
stellen die räumlichen Komponenten des Drehimpulses für l = 1 in der Basis der Eigenzustände
|m = −1i, |m = 0i und |m = −1i von L̂z dar.
Bitte wenden!
~ˆ 2 tatsächlich ~2 l(l + 1) mit l = 1 ist.
(a) Zeigen Sie, dass der Eigenwert von L
(b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren von L̂x , L̂y und L̂z jeweils zum Eigenwert m = 0. Zeigen
Sie, dass dieser Satz von Vektoren eine orthogonale, vollständige Basis bildet.
2
