3.¨Ubungsblatt zur Quantenmechanik

Institut für Theoretische Physik
O. Lauscher, C. Mayrhofer
Dozent: T. Weigand
Universität Heidelberg
Sommersemester 2011
3. Übungsblatt zur Quantenmechanik
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: 28/29.04.2011
Aufgabe 3.1 (6 Punkte):
Wir betrachten Polarisationsexperimente mit transversal polarisiertem Licht und Wellenvektor n̂ in z-Richtung.
Der Zustand eines allgemein polarisierten Photons ist gegeben durch
|ψi = Ax |xi + Ay |yi ,
(1)
wobei |Ax |2 + |Ay |2 = 1 und |xi bzw. |yi ein linear polarisierter Zustand in x- bzw. yRichtung ist.
(a) Betrachten Sie nun die Zustände:
|Ri =
|Li =
√1 (|xi
2
√1 (|xi
2
+ i|yi) ,
(2)
− i|yi) .
(3)
Argumentieren Sie durch Analogie mit klassischen Lichtwellen, dass |Ri (|Li) den
Zustand eines Photons beschreibt, dem rechts- (links-) zirkulärem Licht entspricht.
(b) Ein Photon befindet sich im Zustand |ψi = |xi und trifft auf einen Rechtszirkulationspolarisator, also einen Filter, welches nur rechtszirkuläres Licht durchlässt. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Photon durchgelassen wird.
(c) Welche Durchgangswahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn dem Rechtszirkulationspolarisator noch ein Linkszirkulationspolarisator nachgeschaltet wird (R-L-Polarisatorkonfiguration)?
(d) Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich, wenn zwischen Rechtszirkulations- und
Linkszirkulationspolarisator ein x- bzw. x0 -Polarisator zwischengeschaltet wird, wobei
der x0 -Polarisator gegenüber x um den Winkel φ in Richtung y verdreht wird (R-x-Lbzw. R-x0 -L-Polarisatorkonfiguration)?
(e) Was ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aus der R-x-L- und der R-x0 -L-Polarisatorkonfiguration in (d), wenn x0 in y Richtung zeigt. Vergleichen Sie ihr Ergebnis
mit (c) und bedenken Sie dabei, dass {|xi, |yi} eine vollständige Basis bildet. Zeigen
Sie, durch Anwendung auf einen allgemeinen Zustand |ψi, dass die Operatoren Px =
|xihx|, Px0 = |x0 ihx0 | und PL = |LihL| nicht kommutieren.
Definition 3.1. Wir nennen einen injektiven linearen Operator Û auf dem unitären Vektorraum V unitär, wenn ∀ |xi, |yi ∈ V
hx|Û † Û |yi = hx|yi .
(4)
Lemma 3.1. Jeder unitäre Operator Û auf einem N -dimensionalen unitären Vektorraum
V besitzt eine vollständige Basis von Eigenvektoren.
1
Definition 3.2. Gegeben ein Operator Â mit Eigenwerten ai und einer vollständigen
Orthonormalbasis von Eigenvektoren |ai i. Weiters sei f eine Funktion von C nach C.
Dann definieren wir
N
X
f (Â) :=
f (ai ) |ai ihai | .
(5)
i=1
Aufgabe 3.2 (7 Punkte):
(a) Beweisen Sie, dass alle Eigenwerte eines unitären Operators Û , der auf einen N dimensionalen unitären Vektorraum V wirkt, auf dem Einheitskreis der komplexen
Ebene liegen.
(b) Zeigen Sie, dass für jeden unitären Operator Û ein hermitescher Operator Ĥ existiert,
so dass
Û = eiĤ .
(6)
(c) Gegeben seien die Paulimatrizen:
0 1
0 −i
1 0
1
2
3
σ :=
, σ :=
und σ :=
.
1 0
i 0
0 −1
(7)
Zeigen Sie, dass
[σ i , σ j ] := σ i σ j − σ j σ i = 2 i ijk σ k
(8)
gilt.
(d) Für zwei Operatoren Â and B̂ definieren wir den Kommutator [Â, B̂] wie folgt:
[Â, B̂] := Â B̂ − B̂ Â .
(9)
Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Gleichungen gelten:
[Â B̂, Ĉ] = Â [B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ] B̂ ,
0 = [[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] .
(10)
(11)
(e) Beweisen Sie, dass für allgemeine Operatoren Â und B̂
eB̂ Âe−B̂ = Â + [B̂, Â] + 21 [B̂, [B̂, Â]] + . . .
(12)
(Baker-Campbell-Haussdorff) gilt, wobei . . . für höhere Kommutatoren steht.
Aufgabe 3.3 (7 Punkte):
V sei ein dreidimensionaler Vektorraum über C mit Orthonormalbasis B = {|v1 i, |v2 i, |v3 i}.
Â : V → V sei ein Operator mit
Â|v1 i = 0 ,
Â|v2 i = i|v3 i und
Â|v3 i = −i|v2 i
(13)
(a) Berechnen Sie die Matrixdarstellung A von Â bezüglich der Basis B. Berechnen Sie
ferner (1 + i Â)|wi für
|wi = a1 |v1 i + a2 |v2 i + a3 |v3 i.
2
(14)
(b) Ist B 0 = {Â|v1 i, Â|v2 i, Â|v3 i} ebenfalls eine Basis von V ?
(c) Berechnen Sie die Adjungierte von Â.
(d) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von Â.
(e) Finden Sie eine unitäre Matrix U , so daß A = U DU ∗ ist, wobei D die Diagonalmatrix
mit den Eigenwerten von A in der Diagonalen ist.
(f) Geben Sie die Spektraldarstellung von Â an.
(g) Geben Sie eine Formel für eitA bzw. eitÂ an.
Aufgabe 3.4 (Präsenzübung - nicht schriftlich abzugeben Besprechung: 28./29. 4.):
(a) Erklären Sie den Unterschied zwischen linearen Funktionalen auf einem Vektorraum
und linearen Operatoren.
(b) Wie ist |αihβ| definiert?
P
(c) Zeigen Sie, dass 1 = N
i=1 |ei ihei | für eine Orthonormalbasis (ONB) {|ei i}.
(d) Entwickeln Sie |αi in der ONB {|ei i}, und geben Sie die Koeffizienten an.
(e) Zeigen Sie mittels Â = 1Â1, dass
Â =
X
Ai j |ei ihej |,
(15)
ij
und geben Sie jeden Schritt explizit mit Begründung an.
(f) Zeigen Sie, dass (A† )i j = A∗j i gilt.
(g) Argumentieren Sie, dass die Eigenwertgleichung Â|λi = λ|λi N Lösungen über C hat,
wobei N die Dimension des komplexen Vektorraums ist. Wann sind die Lösungen
degeneriert?
(h) Zeigen Sie, dass für einen hermiteschen Operator alle Eigenwerte reell sind.
(i) Zeigen Sie, dass das Hintereinanderausführen von Operatoren Â und B̂ in der Matrixdarstellung Ai j = hei |Â|ej i und Bi j = hei |B̂|ej i der Matrixmultiplikation entspricht.
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