Lineare Algebra II 4. Hausaufgabe - TU Berlin

Technische Universität Berlin
WiSe 2011/2012
Institut für Mathematik
http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS11/LinAlg2/
Prof. Dr. V. Mehrmann, Dr. S. Jokar
Stand: 21. November 2011
Lineare Algebra II
4. Hausaufgabe
Abgabe: 28.11.2011 bis 02.12.2011
1. Aufgabe
(5 Punkte)
Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ⟨·, ·⟩. Weiter sei
f : V → V eine Abbildung, für die ⟨f (x), f (y)⟩ = ⟨x, y⟩ für alle x, y ∈ V gilt.
(i) Zeigen Sie, dass f ∈ L(V, V ) ist.
Hinweis: Sie können ∥f (λx + µy) − λf (x) − µf (y)∥ untersuchen.
(ii) Sei nun V endlichdimensional. Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.
(iii) Der Raum
{
2
ℓ =
x=
(xj )∞
j=1
mit
∞
∑
}
|xj | < ∞
2
j=1
mit dem Skalarprodukt
⟨·, ·⟩ : ℓ × ℓ → C,
2
2
(x, y) 7→ ⟨x, y⟩ =
∞
∑
xj ȳj .
j=1
ist ein unendlichdimensionaler unitärer Vektorraum. (Sie brauchen weder zu zeigen,
dass V ein C-Vektoraum ist, noch dass ⟨·, ·⟩ wohldefiniert und ein Skalarprodukt ist.)
Betrachten Sie die Abbildung
f : V → V,
(x1 , x2 , . . .) 7→ (0, x1 , x2 , . . .),
den sogenannten Rechtsshift-Operator. Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ V die Gleichung
⟨f (x), f (y)⟩ = ⟨x, y⟩ gilt, dass f jedoch nicht bijektiv ist.
1
2. Aufgabe
(6 Punkte)
Wir bezeichnen mit x = (x1 , x2 , . . .) = (xj )∞
,
x
∈
C
für
alle
j
∈
N,
eine
(unendliche)
j
j=1
Folge komplexer Zahlen und mit x̄ = (x̄j )∞
deren
komplex konjugierte Folge. Betrachten
j=1
Sie den unendlichdimensionalen unitären Vektorraum ℓ2 mit dem Skalarprodukt ⟨x, y⟩ =
∞
∑
xj ȳj aus Aufgabe 1.
j=1
(i) Sei a ∈ ℓ2 . Definiere
Ma : ℓ2 → ℓ2 ,
x 7→ (aj xj )∞
j=1 .
(a) Zeigen Sie, dass Ma wohldefiniert ist, also dass Ma (x) ∈ ℓ2 für x ∈ ℓ2 gilt, und
dass Ma ∈ L(ℓ2 , ℓ2 ) ist.
(b) Zeigen Sie, dass Ma eine Adjungierte Maad besitzt und bestimmen Sie diese.
(c) Bestimmen Sie alle a ∈ ℓ2 für die Ma selbstadjungiert ist.
(ii) Sei
F : ℓ2 → ℓ2 ,
x 7→ (xj + xj+1 )∞
j=1
Zeigen Sie, dass F eine Adjungierte besitzt und bestimmen Sie diese.
3. Aufgabe
(5 Punkte)
Seien V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und f ∈ L(V, V ). Zeigen Sie, dass
f genau dann selbstadjungiert ist, wenn ⟨f (v), v⟩ ∈ R für alle v ∈ V gilt.
4. Aufgabe
Sei Q ∈ Rn,n eine orthogonale oder Q ∈ Cn,n eine unitäre Matrix.
(4 Punkte)
(i) Welche Werte kann dann det(Q) haben? Begründen Sie Ihre Antwort.
√∑n
2
(ii) Sei Q ∈ Rn,n eine orthogonale Matrix und ||x||2 :=
i=1 |xi | . Zeigen Sie, dass für
n
alle x ∈ R : ||Qx||2 = ||x||2 gilt.
Zusatzaufgabe
(5 Punkte)
Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei f ∈ L(V, V )
eine Projektion, d. h. es gilt f 2 = f . Zeigen Sie, dass f genau dann selbstadjungiert ist,
wenn Kern(f )⊥Bild(f ) gilt (d. h. für alle v ∈ Kern(f ) und w ∈ Bild(f ) gilt ⟨v, w⟩ = 0).
Gesamtpunktzahl: 20
2