Lineare Algebra 2 (SS 13) Blatt 13

Prof. Dr. B. Hanke
Dr. J. Bowden
Lineare Algebra 2 (SS 13)
Blatt 13
Aufgabe 1. Es sei C∞ (R) der R-Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf
R und
∆ : C∞ (R) → C∞ (R),
f 7→ f 00
die Abbildung, welche einer Funktion f ihre zweite Ableitung f 00 zuordnet.
(a) Betrachten Sie die Funktion f (x) = et·x für t ∈ R und zeigen Sie, dass alle reellen Zahlen λ ≥ 0
Eigenwerte von ∆ sind.
(b) Zeigen Sie, dass auch λ = −1 Eigenwert von ∆ ist.
(c) Bestimmen Sie eine Basis des Eigenraumes Eig(∆, 0).
Aufgabe 2. Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und F, G ∈ End(V ) seien Endomorphismen. Beweisen Sie, dass F ◦ G und G ◦ F genau die gleichen Eigenwerte haben.
Aufgabe 3. Es sei A ∈ Mat(n, K). Beweisen Sie, dass λ ∈ K genau dann Eigenwert von A ist,
wenn PA (λ) = 0, wobei PA = det(A − X · En ) ∈ K[X] das charakteristische Polynom von A ist.
Aufgabe 4. Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und F ∈ End(V ). Zeigen Sie, dass
F genau dann ein Isomorphismus ist, wenn PF (0) 6= 0.
Aufgabe 5. Es sei A ∈ Mat(n, K) und λ1 , . . . , λk seien paarweise verschiedene Eigenwerte von
A. Zeigen Sie, dass für alle j = 1, . . . , k gilt
1 ≤ dim(Eig(A, λj )) ≤ n − k + 1.
Aufgabe 6. Bestimmen Sie für die Matrix

−1
0
1
0
A = −1
1

1
1
0
eine orthogonale Matrix S, so dass S T AS eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe 7. Zeigen Sie, dass es zu λ ∈ K und natürlichen Zahlen µ, n mit 1 ≤ µ ≤ n stets eine
Matrix A ∈ Mat(n, K) gibt mit
dim(Eig(A, λ)) = 1

Aufgabe 8.
und
1
Wir betrachten die Matrix A = 0
0
(a) Kann man A über R trigonalisieren?
(b) Trigonalisieren Sie A über C.
2
1
−1
µ(PA , λ) = µ.

3
2 .
−1
Aufgabe 9. Formulieren Sie den Satz von Cayley-Hamilton.
Aufgabe 10. Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, F ∈ End(V ) und λ ∈ K ein
Eigenwert von F . Definieren Sie, was man unter dem verallgemeinerten Eigenraum V Eig(F, λ) versteht.
Aufgabe 11. Wenden Sie den Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen 328 und 75 an.
Sind diese beiden Zahlen teilerfremd?
Aufgabe 12. Formulieren Sie den Satz von der Jordan-Chevalley-Zerlegung.
Aufgabe 13. Bestimmen Sie eine Basis des R5 bezüglich derer die Matrix

2
1

A=
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
2
1
1
0
0
0
2
0

−2
−1

−1

−2
0
in Jordanscher Normalform vorliegt.
Aufgabe 14. Wir betrachten den R2 mit seinem kanonischen Skalarprodukt γ = h , i. Es sei A
die kanonische Basis des R2 und B = (v1 , v2 ) die Basis bestehend aus
1
−1
v1 =
und v2 =
.
1
0
(a) Bestimmen Sie die darstellenden Matrizen MA (γ) und MB (γ).
(b) Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie MB (γ) mit Hilfe der Transformationsformel aus MA (γ)
berechnen.
(c) Es sei x = 2v1 − 3v2 und y = v1 + 4v2 . Berechnen Sie hx, yi einmal unter Verwendung der
Matrix MA (γ) und einmal unter Verwendung der Matrix MB (γ).
Aufgabe 15. Es sei V ein R-Vektorraum. Zeigen Sie:
(a) Die Menge aller Bilinearformen auf V bildet selber wieder einen R-Vektorraum.
(b) Die symmetrischen und auch die schiefsymmetrischen Bilinearformen bilden darin jeweils einen
Untervektorraum.
(c) Der Raum aller Bilinearformen ist die direkte Summe aus den Räumen der symmetrischen und
der schiefsymmetrischen Bilinearformen, jede Bilinearform lässt sich also auf eindeutige Weise
als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Bilinearform schreiben.
Aufgabe 16. Wir betrachten zwei Vektoren v, w ∈ R2 . Zeigen Sie, dass die Definition
cos α :=
hv, wi
kvk · kwk
für den Winkel α zwischen v und w mit der Definition des Kosinus über das Verhältnis von Ankathete
zu Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck übereinstimmt.
Aufgabe 17. Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Definieren Sie, was man unter
einer Orthonormalbasis von V versteht.
Aufgabe 18. Wir betrachten den R-Vektorraum R[x] mit dem Skalarprodukt hf, gi :=
R1
−1
f (t)g(t)dt.
(a) Berechnen Sie das 2-dimensionale Volumen des von der Familie (1, x) aufgespannten Spates.
(b) Orthonormalisieren Sie die Familie (1, x, x2 ).
Aufgabe 19. Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt h , i und
induzierter Norm kvk2 = hv, vi.
(a) Formulieren Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
(b) Folgern Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, dass die Norm k k tatsächlich die Dreiecksungleichung erfüllt.
Aufgabe 20. Es sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und
W ⊂ V ein Untervektorraum. Definieren Sie zwei Abbildungen P1 , P2 ∈ End(V ) mit den folgenden
Eigenschaften:
• P1 und P2 sind Projektionen, erfüllen also P1 2 = P1 und P2 2 = P2 .
• im(P1 ) = W und im(P2 ) = W ⊥ .
• P1 + P2 = idV .
Aufgabe 21. Ist die orthogonale Projektion auf einen endlichdimensionalen Untervektorraum in
einem euklidischen oder unitären Vektorraum eine orthogonale Abbildung?
Aufgabe 22. Geben Sie die Definitionen der Matrixgruppen O(n), SO(n), U(n) und SU(n) an.
Aufgabe 23. Beweisen Sie für Quaternionen x, y ∈ H die Rechenregel |x · y| = |x| · |y|.
Aufgabe 24. Zeigen Sie, dass für eine Matrix A ∈ Rn×n genau dann det(exp(A)) = 1 gilt, wenn
spur(A) = 0.
Aufgabe 25. Es sei V ein euklidischer (unitärer) Vektorraum und F ∈ End(V ) orthogonal
(unitär). Beweisen Sie, dass alle Eigenwerte λ von V den Betrag |λ| = 1 haben.
Aufgabe 26. Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und F ∈ End(V ) selbstadjungiert. Beweisen Sie, dass alle Eigenwerte von V reell sind.
Aufgabe 27. Es sei V ein euklidischer (unitärer) Vektorraum und F ∈ End(V ) orthogonal
(unitär). Es seien λ1 , λ2 Eigenwerte von F mit λ1 6= λ2 . Beweisen Sie
Eig(F, λ1 ) ⊥ Eig(F, λ2 ).
Aufgabe 28. Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und F ∈ End(V ) selbstadjungiert. Es seien λ1 , λ2 Eigenwerte von F mit λ1 6= λ2 . Beweisen Sie
Eig(F, λ1 ) ⊥ Eig(F, λ2 ).
Aufgabe 29. Es sei V := span(1, x, x2 ) ⊂ R[x]. Wir betrachten die Basis B = (1, x, x2 ) von V
und den Endomorphismus ϕ : V → V ,
ϕ(f ) :=
df
.
dx
Man bestimmte MB∗ (ϕ∗ ).
Aufgabe 30.
Sei
X := {x21 + 2x1 x2 + x22 −
√
√
2x1 + 3 2x2 − 1 = 0} ⊂ R2 .
Durch eine geeignete Koordinatentransoformation bestehend aus einer orthogonalen Bewegung des
R2 und einer Verschiebung des Koordinatenursprungs bringe man X in Normalform.
Skizzieren Sie X in den neuen Koordinaten (y1 , y2 ). Von welchem Typ ist X?