Ubungen zur Vorlesung `Lineare Algebra II`

Übungen zur Vorlesung ‘Lineare Algebra II’
V. Hoskins, D. Bunnett (SS 2017)
Übungsblatt 9
Abgabe: Bis Montag, den 19.06.2017, 16 Uhr.
Aufgabe 1. (12 Punkte) Für die Basis
1 0
0 1
0 0
0 0
A=
,
,
,
.
0 0
0 0
1 0
0 1
von V := Mat2×2 (R) und die folgende Bilinearformen bi ∈ BilR (V ) berechnen Sie die
Matrix bi (A, A) ∈ Mat4×4 (R) und die Signatur der Bilinearformen, wobei
a) b1 (A, B) := Spur(At B)
b) b2 (A, B) := det(A + B) − det(A) − det(B)
für A, B ∈ Mat2×2 (R). Welche Bilinearformen sind nicht ausgeartet? Welche Bilinearformen sind positiv definit?
Aufgabe 2. (2+3+3+2 Punkte) Für einen unitären Vektorraum V und unitäre Endomorphismen f, g ∈ U(V ) beweisen Sie:
a) f ◦ g ist unitär.
b) f bijektiv und ferner ist f −1 unitär.
c) Die Menge U(V ) ist eine Untergruppe von AutC (V ) ⊂ EndC (V ).
d) Für einen Eigenwert λ ∈ C von f gilt |λ| = 1.
Aufgabe 3. (8 Punkte) Sei (V, h−, −i) ein euklidischer Vektorraum und A, B orthonormale Basen von V . Beweisen Sie, dass die Basiswechsel-Matrix MBA (IdV ) eine orthogonale
Matrix ist.
Bitte wenden!
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Aufgabe 4. (4+4+2 Punkte) Sei h−, −i : V × V → K ein Skalarprodukt auf einem KVektorraum V (mit K = R oder C) und sei v1 , . . . , vn eine ON-Basis von V . Beweisen Sie
die folgende Aussagen.
a) Für alle v ∈ V gilt
v=
n
X
hvk , vi · vk .
k=1
b) Parseval-Gleichung: für alle v, w ∈ V gilt
hv, wi =
n
X
hvk , vihvk , wi.
k=1
c) Bessel-Gleichung: für alle v ∈ V gilt
||v||2 =
n
X
|hvk , vi|2 .
k=1
Aufgabe 5. (Optional - 5 Bonuspunkte)
a) Sei v ∈ Rn ein normierter Vektor. Beweisen Sie, dass die Matrix Hv := In − 2vv t ∈
Matn×n (R) orthogonal ist.
b) Für n = 2 berechnen Sie He1 und He2 und geben Sie eine geometrische Beschreibung
dieser Matrizen.
c) Geben Sie eine geometrische Charakterisierung von Hv in beliebiger Dimension n.
[Hinweis: Was ist Hv |v⊥ ? Was ist Hv2 ? Was ist Hv (v)?]
d) Beweisen Sie (z.B. durch Induktion nach n), dass jede orthogonale Matrix als Produkt
von höchstens n Matrizen der Form Hv geschrieben werden kann (d.h. für A ∈ O(n)
gibt es 0 ≤ k ≤ n und normierte Vektoren v1 , . . . , vk mit A = Hv1 Hv2 . . . Hvk ).
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