Lineare Algebra II (SS 13)

Lineare Algebra II (SS 13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
19.06.2013
Bernhard Hanke
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Quotientenvektorräume
Es sei V ein K -Vektorraum und W ⊂ V ein Untervektorraum. Wir
definieren eine Relation ∼ auf V wie folgt:
v1 ∼ v2 :⇐⇒ v1 − v2 ∈ W .
I
Die Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation handelt. Die Menge der
Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit V /W .
I
Ist v ∈ V , so ist also die Äquivalenzklasse [v ] von V gleich dem
affinen Teilraum
v + W = {v + w | w ∈ W } ⊂ W
und es gilt genau dann v1 + W = v2 + W , falls v1 − v2 ∈ W .
Bernhard Hanke
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Proposition (5.10)
Durch die Setzung
(v1 + W ) + (v2 + W ) := v1 + v2 + W
λ · (v + W ) := λv + W
wird V /W zu einem K -Vektorraum.
I
Der Vektorraum V /W heißt Quotientenvektorraum von V nach W .
I
Die kanonisch definierte Abbildung
p : V → V /W , v 7→ [v ]
ist K -linear und es gilt ker p = W .
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Proposition (5.11)
Es sei (V , h−, −i) ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und W ⊂ V
ein endlichdimensionaler Untervektorraum. Dann ist die Abbildung
χ : W ⊥ → V /W , v 7→ [v ]
ein Vektorraumisomorphismus.
Das heißt, der Quotientvektorraum V /W kann in kanonischer Weise mit
dem orthogonalen Komplement von W in V identifiziert werden.
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Orthogonale und unitäre Endomorphismen
Definition
Es seien V und W Euklidische, bzw. unitäre Vektorräume. Eine lineare
Abbildung
f :V →W
heißt orthogonal, bzw. unitär, falls für alle v , w ∈ V :
hf (v ), f (w )iW = hv , w iV .
Orthogonale und unitäre Abbildungen sind
I längenerhaltend (insbesondere injektiv)
I winkelerhaltend
I bilden orthogonale Familien wieder auf solche ab.
Proposition (6.1)
Es sei f : V → W linear und längenerhaltend. Dann ist f orthogonal, bzw.
unitär.
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Bemerkung
Ist f : V → W eine Abbildung, die f (0) = 0 erfüllt und zudem
abstandserhaltend ist, so ist f bereits linear und somit eine Isometrie
(Übung).
Definition
Eine Matrix A ∈ Rn×m , bzw. in Cn×m heißt orthogonal, bzw. unitär, falls
sie bezüglich der Standardskalarprodukte eine orthogonale, bzw. unitäre
Abbildung beschreibt.
Dies ist offensichtlich gleichbedeutend damit, dass für alle x, y ∈ Rm
(Ax)T (Ay ) = x T AT Ay = x T y ⇐⇒ AT A = Em .
D.h die Spalten von A bilden eine orthonormale Familie von Vektoren im
Rn .
Im unitären Fall erhält man entsprechend die Charakterisierung
AT A = Em .
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Proposition (6.2)
Es seien V und W endlichdimenisonale Euklidische, bzw. unitäre
Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W ist genau dann orthogonal
(unitär), wenn folgendes gilt: Es seien B und C Orthonormalbasen von V
und W . Dann ist die darstellende Matrix MCB (f ) orthogonal (unitär).
Proposition (6.3)
Es sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum.
Es sei f : V → V ein orthogonaler (unitärer) Endomorphismus. Dann ist f
ein Isomorphismus und f −1 ist ebenfalls orthogonal (unitär). Alle
Eigenwerte haben den Betrag 1. Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten sind orthogonal.
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Ist A ∈ Rn×n orthogonal, so gilt
AT A = En =⇒ AAT = En also AT = A−1 .
Entsprechend ist für unitäre Matrizen AAT = En . Damit sind äquivalent:
I
A ist orthogonal (unitär).
I
Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis.
I
Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis.
I
A−1 = AT (im Euklidischen Fall), A−1 = A
T
(im unitären Fall).
Wir betrachten nun die Teilmengen
O(n) := {A ∈ Mat(n, R) | A orthogonal} ⊂ Rn×n
und
U(n) := {A ∈ Mat(n, C) | A unitär} ⊂ Cn×n .
Diese Teilmengen sind Untergruppen von GL(n, R), bzw. GL(n, C) und
heißen die Gruppen der orthogonalen, bzw. unitären (n × n)-Matrizen.
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