Lineare Algebra II (SS 13) - math.uni
Werbung
Lineare Algebra II (SS 13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
24.06.2013
Bernhard Hanke
1 / 11
Orthogonale und unitäre Endomorphismen
Proposition (6.3)
Es sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum.
Es sei f : V → V ein orthogonaler (unitärer) Endomorphismus.
Dann ist f ein Isomorphismus und f −1 ist ebenfalls orthogonal (unitär).
Alle Eigenwerte haben den Betrag 1. Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten sind orthogonal.
Bernhard Hanke
2 / 11
Ist A ∈ Rn×n orthogonal, so gilt
AT A = En =⇒ AAT = En also AT = A−1 .
Entsprechend ist für unitäre Matrizen AAT = En . Damit sind äquivalent:
I
A ist orthogonal (unitär).
I
Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis.
I
Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis.
I
A−1 = AT (im Euklidischen Fall), A−1 = A
Bernhard Hanke
T
(im unitären Fall).
3 / 11
Wir betrachten nun die Teilmengen
O(n) := {A ∈ Mat(n, R) | A orthogonal} ⊂ Rn×n
und
U(n) := {A ∈ Mat(n, C) | A unitär} ⊂ Cn×n .
Diese Teilmengen sind Untergruppen von GL(n, R), bzw. GL(n, C) und
heißen die Gruppen der orthogonalen, bzw. unitären (n × n)-Matrizen.
Bemerkung
Für alle A ∈ O(n) und A ∈ U(n) gilt | det(A)| = 1.
Insbesondere gilt für A ∈ O(n), dass det A ∈ {±1}.
Bernhard Hanke
4 / 11
Definition
Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum.
I
Wir nennen zwei Basen B und C von V gleich orientiert, falls für die
Matrix der Koordinatentransformation von der Basis B in die Basis C
folgendes gilt:
det TCB > 0 .
Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Basen von V
mit genau zwei Äquivalenzklassen.
I
Diese Äquivalenzklassen heißen Orientierungen von V . Einen
endlichdimensionalen Vektorraum V zusammen mit einer
Orientierung heißt orientierter Vektorraum.
Die Basen in der gegebenen Äquivalenzklasse heißen positiv orientiert,
die verbleibenden Basen negativ orientiert.
Bernhard Hanke
5 / 11
Definition (Fortsetzung)
I
Es seien V und W endlichdimensionale, orientierte Vektorräume. Ein
linearer Isomorphismus f : V → W heißt orientierungserhaltend, falls
f eine positiv orientierte Basis von V auf eine positiv orientierte Basis
von W abbildet.
Falls V = W ist dies gleichbedeutend mit det f > 0.
I
Ist V = K n , so definiert die Orientierungsklasse der Standardbasis
(e1 , . . . , en ) die Standardorientierung oder kanonische Orientierung
von V .
Bemerkung
Für allgemeine Vektorräume gibt es keine Standardorientierung, da es
keine ausgezeichneten Basen gibt.
Bernhard Hanke
6 / 11
Wir setzen nun
SO(n) = {A ∈ O(n) | det A = 1} .
Dies ist die spezielle orthogonale Gruppe der Ordnung n.
Analog definieren wir
SU(n) = {A ∈ U(n) | det A = 1}
die spezielle unitäre Gruppe der Ordnung n.
I
Diese Teilmengen sind Untergruppen.
Bernhard Hanke
7 / 11
Proposition (6.5)
Es sei A ∈ O(2). Dann tritt genau einer der beiden folgenden Fälle ein.
I
det A = 1, das heißt, A ist orientierungserhaltend. Dann existiert
genau ein φ ∈ [0, 2π), so dass
sin(φ) − cos(φ)
A=
.
cos(φ) sin(φ)
Dies ist eine Drehung um den Winkel φ in der Ebene (gegen den
Uhrzeigersinn).
I
det A = −1, das heißt, A ist orientierungsumkehrend. Dann existiert
genau ein φ ∈ [0, 2π), so dass
sin(φ) cos(φ)
A=
.
cos(φ) − sin(φ)
Dies ist eine Spiegelung an der x-Achse, verknüpft mit einer Drehung
um φ gegen den Uhrzeigersinn.
Bernhard Hanke
8 / 11
Satz (6.6)
Es sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und f : V → V ein
unitärer Endomorphismus. Dann gilt folgendes:
I
f diagonalisierbar.
I
V besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f .
Folgerung (6.7)
Ist A ∈ U(n), so existiert ein S ∈ U(n), so dass
λ1
0
..
SAS −1 =
.
0
λn
wobei λ1 , . . . , λn komplexe Zahlen vom Betrag 1 sind.
Bernhard Hanke
9 / 11
Satz (6.8)
Es sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer Vektorraum und f : V → V
ein orthogonaler Endomorphismus. Dann existiert eine Orthonormalbasis
von V , bezüglich der f durch eine Matrix folgender Form dargestellt wird
1
0
..
.
1
−1
..
.
−1
A1
.
.
.
0
Ak
Dabei sind Ai =
Bernhard Hanke
cos θi
sin θi
− sin θi
cos θi
mit θi ∈ (0, π) ∪ (π, 2π).
10 / 11
Lemma (6.9)
Es sei A : Rn → Rn ein orthogonaler Endomorphismus. Dann existiert ein
Untervektorraum W ⊂ Rn der Dimension 1 oder 2 mit A(W ) = W .
Folgerung (6.10)
Es sei A ∈ SO(3) mit A 6= E3 . Dann existiert eine Orthonormalbasis
B = (v1 , v2 , v3 ) von R3 , so dass bezüglich dieser Basis die Abbildung A
durch eine Matrix der Form
1
0
0
0 cos(φ) − sin(φ)
0 sin(φ) cos(φ)
dargestellt wird, wobei φ ∈ [0, 2π).
Wir können uns daher A als Drehung mit Drehachse span(v1 ) ⊂ R3 um
den Winkel φ vorstellen. Die Drehachse und der Winkel φ sind durch A
eindeutig bestimmt.
Bernhard Hanke
11 / 11
