Uni Stuttgart Mathematische Methoden der Quantenmechanik Blatt

Uni Stuttgart
Sommer 2014
Mathematische Methoden der Quantenmechanik
Prof. M. Griesemer
Blatt 6
1. Unitäre Gruppen und Klassische Mechanik Sei φ : R × Rn → Rn von der
Klasse C ∞ , sei φt (x) := φ(t, x) und sei φt : Rn → Rn eine Familie von Diffeomorphismen
mit φt=0 (x) = x und
φs+t = φs ◦ φt ,
für alle s, t ∈ R.
Sei Dφt die Ableitung von φt . Zeigen Sie:
(a) det Dφt (x) > 0 für alle (t, x) ∈ R1+n .
(b) Durch
[U (t)ψ](x) =
p
det Dφt (x) ψ(φt (x))
wird eine stark stetige unitäre Gruppe U : R → L (H ) auf H = L2 (Rn ) definiert.
(c) Der Erzeuger A von U ist auf C0∞ (Rn ) gegeben durch
i
1
[Aψ](x) = iv(x) · ∇ψ(x) + (div v)(x)ψ(x) = − v(x) · p + p · v(x) ψ(x)
2
2
wobei v(x) :=
d
φ (x)|t=0
dt t
und p = −i∇.
(d) t 7→ φt (x0 ) ist die (eindeutige) Lösung des AWP
dx
= v(x),
dt
x(0) = x0 ,
wobei das Vektorfeld v : Rn → Rn wie in (c) definiert ist.
(e) Ist n gerade und v ein Hamiltonsches Vektorfeld mit Hamiltonfunktion H, dann
ist −iA der Liouvillesche Operator
Lf = {f, H}
(Poissonklammer von f und H).
Das Hamiltonsche Vektorfeld vH zur Hamiltonfunktion H : R2m → R ist gegeben
durch
0 1
vH = J∇H,
J=
.
−1 0
Die Poisson-Klammer {f, g} zweier Funktionen f, g : R2m → C wird definiert durch
{f, g} = h∇f, J∇gi.
Abgabe 20.5.2014
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