10. ¨Ubungsblatt zur Analysis III

Prof. Dr. R. Walter
WS 2000/01
10. Übungsblatt zur Analysis III
Abgabe: am Montag, 08.01.2001, 12:00 Uhr in den Kästen im Mathefoyer
Aufgabe 41m (= mündlich):
V sei ein endlich dimensionaler R-Vektorraum und s, t ∈ N. Für λ1 , λ2 ∈ Ls (V ) und
µ1 , µ2 ∈ Lt (V ) zeige man:
a) Aus λ1 ⊗ µ1 = 0 folgt λ1 = 0 oder µ1 = 0
(Nullteilerfreiheit).
b) Aus λ1 ⊗ µ1 = λ2 ⊗ µ2 6= 0 folgt: Es gibt Zahlen α, β ∈ R mit αβ = 1 und
λ1 = αλ2 , µ1 = βµ2 .
Aufgabe 42m:
Sei A ⊆ Rn offen. Zeigen Sie:
a) Für eine Pfaffsche Form ω auf A gilt ω ∧ ω = 0. Gilt das auch für 2-Formen?
b) Für eine s-Form λ und eine t-Form µ gilt im Falle von s + t > n: λ ∧ µ = 0.
Aufgabe 43m:
Aus den folgenden Differentialformen des R3
ω0
ω1
ω2
ω3
:=
:=
:=
:=
f,
P dx + Q dy + R dz,
A dy ∧ dz + B dz ∧ dx + C dx ∧ dy,
g dx ∧ dy ∧ dz
bilde man alle Dachprodukte ωi ∧ ωj mit 0 ≤ i < j ≤ 3 sowie auch ω1 ∧ π1 ,
wobei π1 := L dx + M dy + N dz. Dabei sind die Koeffizienten f, P, Q, . . . auf R3
definierte Funktionen. Man beobachte, welche bereits bekannten Produktbildungen
(z.B. Skalarprodukt, Vektorprodukt) sich hiermit automatisch einstellen.
Aufgabe 44:
Seien ωi sowie π1 wie in Aufgabe 43 Differentialformen im R3 mit C1 -Koeffizienten.
Desweiteren definiere man mit der C1 -Funktion f : R3 → R die 0-Form π0 = f . Man
berechne die Ausdrücke für d(πj ∧ ωi ) mit 0 ≤ j ≤ i. Damit beweise man für C1 –
Vektorfelder q, b, q̄ auf R3 die folgenden Formeln der klassischen Vektoranalysis“:
”
a)
b)
c)
rot(f · q)
div(f · b)
div(q × q̄)
= f · rot(q) + grad(f ) × q ,
= f · div(b) + hgrad(f ), bi ,
= hrot(q), q̄i − hq, rot(q̄)i .
Aufgabe 45m:
Welche der folgenden Pfaffschen-Formen sind geschlossen, welche exakt ?
ω1 := x dx + xz dy + xy dz,
ω2 := y dx,
1
1
ω3 :=
+
(y dx − x dy).
x2 y 2
R
Berechnen Sie ω1 längs des geradlinigen Weges von (0,0,0) nach (1,1,1) und längs
des Weges c(t) := (t, t2 , t3 ), t ∈ [0, 1]. Versuchen Sie gegebenefalls Potentiale zu
finden!
Aufgabe 46:
Im dreidimensionalen Raum sei das Kraftfeld F gegeben durch
F (x, y, z) := (x + y, y − z, xz).
Berechnen Sie die Arbeit dieses Kraftfeldes längs der geschlossenen Weges
c(t) := (cos t, sin t, cos2 t), t ∈ [0, 2π].
Aufgabe 47:
Ein Vektorfeld X auf A ⊆ Rn heißt exakt, wenn die zugehörige Pfaffsche Form
n
P
ω :=
Xi dxi exakt ist. Es heißt rotationssymmetrisch, wenn es Zahlen a, b ∈ R+ ∪
i=1
{0, ∞}, a < b gibt mit A := {x ∈ Rn | a < kxk < b} sowie eine Funktion
f :]a, b[→ R mit Xp := f (kpk) · p für alle p ∈ A.
Zeigen Sie: Jedes stetige rotationssymmetrische Vektorfeld ist exakt.
Hinweis: Für X mit Xp := f (kpk) · p betrachte man eine Stammfunktion (Existenz?)
von x 7→ xf (x). Die Doppelstriche bezeichnen die Euklidische Standardnorm.
Zur Information: Tabelle der Differentialformen in R2 und R3
Darstellung von
s ω
0 ω0 = g
=
↓
1 ω1 = P dx + Q dy
↓
2 ω2 = f dx ∧ dy
0 ω0 = g
↓
ω1 = P dx
1
+ Q dy + R dz
↓
ω2 = A dy ∧ dz
2
+ B dz ∧ dx + C dx ∧ dy
↓
3 ω3 = f dx ∧ dy ∧ dz
=
b
=
b
=
=
b
=
b
=
b
Deutungsmöglichkeit von
ω
d
skalare Funktion g
↓ Gradient
Vektorfeld P, Q
↓ ebene Rotation
skalare Funktion f
skalare Funktion g
↓ Gradient
(polares) Vektorfeld (P, Q, R)
↓ Rotation
(axiales) Vektorfeld (A, B, C)
↓ Divergenz
skalare Funktion f