Lineare Algebra II (SS 13) - math.uni

Lineare Algebra II (SS 13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
03.06.2013
Bernhard Hanke
1 / 16
Skalarprodukt in Rn
Seien x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . Das Skalarprodukt von x
und y als
hx, y i := x1 y1 + . . . + xn yn .
Die Länge eines Vektors x ist definiert durch
p
kxk := hx, xi.
Der Winkel φ zwischen den Vektoren x, y 6= 0 ist durch folgende Gleichung
definiert
hx, y i
cos φ =
, wobei φ ∈ [0, π].
kxk · ky k
Bernhard Hanke
2 / 16
Bemerkung
1. Die Definition der Länge von x ist dabei durch den Satz des
Pythagoras motiviert.
2. Für x = (cos α, sin α) ∈ R2 und y = (cos β, sin β) ∈ R2 mit
0 ≤ α ≤ β ≤ π impliziert die obige Gleichung, dass
cos φ = cos α cos β + sin α sin β = cos(β − α)
und somit φ = β − α. Dies ist genau die Bogenlänge des Kreisbogens,
der x mit y gegen den Uhrzeigersinn verbindet.
Bernhard Hanke
3 / 16
Definition
Ist
so setzen wir


a11 · · · a1n

..  ∈ K m×n ,
..
A =  ...
.
. 
am1 · · · amn


a11 · · · an1

..  ∈ K m×n .
..
AT :=  ...
.
. 
a1m · · · anm
Wir vertauschen also Zeilen und Spalten in A.
Die so erhaltene Matrix AT heißt die Transponierte von A.
Beispiel


1
T
1 5 2
= 5 
2
Bernhard Hanke
4 / 16
Definition
Es sei K ein Körper und V ein K -Vektorraum. Eine Bilinearform auf V ist
eine Abbildung
γ :V ×V →K,
so dass für alle v ∈ V die Abbildung
γ(v , −) : V → K , w 7→ γ(v , w )
und für alle w ∈ V die Abbildung
γ(−, w ) : V → K , v 7→ γ(v , w )
K -linear sind. Die Abbildung γ ist also linear in jedem Argument.
Bernhard Hanke
5 / 16
Definition
Sei V ein K -Vektorraum mit einer Bilinearform γ und sei B = (b1 , . . . , bn )
eine Basis von V . Wir definieren die darstellende Matrix MB (γ) ∈ K n×n
von γ bezüglich B durch
MB (γ)ij := γ(bi , bj ) .
Beispiel
Die darstellende Matrix der Bilinearform
h(x1 , y1 ), (x2 , y2 )i → x1 y2 − 3x2 y2
auf R2 bezüglich der Basis B := ((1, 0), (1, 1)) ist gegeben durch
0 1
MB (γ) =
.
0 −2
Bernhard Hanke
6 / 16
Proposition (4.1)
Es sei A ∈ K n×n die darstellende Matrix einer Bilinearform γ auf einem
n-dimensionalen K -Vektorraum V bezüglich einer Basis B = (b1 , . . . , bn ).
Sind v , w ∈ V mit Koordinatenvektoren




x1
y1




x =  ...  , y =  ...  so gilt γ(v , w ) = x T Ay .
xn
yn
Bemerkung
Jede Matrix A ∈ K n×n die Abbildung (v , w ) 7→ x T Ay eine Bilinearform
auf V .
Folgerung (4.2)
Sind γ und γ 0 zwei Bilinearformen mit MB (γ) = MB (γ 0 ), so gilt γ = γ 0 .
Bernhard Hanke
7 / 16
Proposition (4.3)
Es seien B, C Basen von V und TCB die Matrix der
Koordinatentransformation von der Basis B in die Basis C. Dann gilt
MB (γ) = (TCB )T MC (γ)TCB .
Bemerkung
Man vergleiche obige Formel mit der Transformationsformel für
darstellende Matrizen:
−1
MB (f ) = TCB
MC (f ) TCB .
Bernhard Hanke
8 / 16
Definition
Wir nennen eine Bilinearform γ : V × V → K symmetrisch, falls
γ(v , w ) = γ(w , v ) für alle v , w ∈ V .
Bemerkung
Ist V endlichdimensional und B eine Basis von V , so ist γ genau dann
symmetrisch, wenn MB (γ) symmetrisch ist, d.h. MB (γ) = (MB (γ))T .
Definition
Es sei nun K = R, also V ein reeller Vektorraum.
I
Wir nennen eine symmetrische Bilinearform γ : V × V → R positiv
definit, falls γ(v , v ) > 0 für alle v ∈ V mit v 6= 0.
I
Eine symmetrische, positiv definite Bilinearform auf einem reellen
Vektorraum V heißt (euklidisches) Skalarprodukt.
I
Ein Paar (V , h−, −i) bestehend aus einem reellen Vektorraum und
einem Skalarpdodukt heißt euklidischer Vektorraum.
Skalarprodukte werden in der Regel mit spitzen Klammern bezeichnet, d.h.
wir schreiben hv , w i statt γ(v , w ).
Bernhard Hanke
9 / 16
Beispiel
I
Das Standardbeispiel eines euklidischen Vektorraumes ist der reelle
Vektorraum Rn zusammen mit dem kanonischen Skalarprodukt
gegeben durch
h(x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )i :=
n
X
xi yi .
i=1
I
Auf dem Vektorraum C 0 ([0, 2π]) der stetigen Funktionen [0, 2π] → R
haben wir das Skalarprodukt
Z 2π
hf , g i :=
f (t)g (t)dt,
0
das in der Fourieranalysis eine wichtige Rolle spielt.
Bernhard Hanke
10 / 16
Skalarprodukt in Cn
Für eine komplexe Zahl x ∈ C ist
√
√
|x| = x · x 6= x 2 , falls x 6= R.
Entsprechend definiert man das kanonische Skalarprodukt auf Cn durch
h(x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )i = x1 y1 + . . . + xn yn .
Dann ist nach wie vor hx, xi ≥ 0 und die übliche Länge von x ist gegeben
durch
p
kxk = hx, xi .
Bernhard Hanke
11 / 16
Definition
Es sei V ein C-Vektorraum.
I
Eine Abbildung
γ :V ×V →C
heißt Sesquilinearform, falls γ linear im ersten Argument, jedoch
konjugiert-linear im zweiten Argument ist, d.h. für alle v ∈ V und
w1 , w2 ∈ V , λ1 , λ2 ∈ C gilt
γ(v , λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 γ(v , w1 ) + λ2 γ(v , w2 ) .
I
Eine Sesquilinearform γ heißt Hermitesch, falls für alle v , w ∈ V
folgendes gilt
γ(v , w ) = γ(w , v ).
I
Weiter nennen wir eine Hermitesche Sesquilinearform γ ein
(unitäres) Skalarprodukt auf V , falls γ zusätzlich positiv definit ist,
d.h. für alle v ∈ V , v 6= 0
γ(v , v ) > 0.
Bernhard Hanke
12 / 16
Bemerkung
Man beachte, dass γ(v , v ) ∈ R für alle v ∈ V , denn
γ(v , v ) = γ(v , v ) .
I
Sei γ : V × V → C eine Sesquilinearform auf einem komplexen
Vektorraum V . Für eine Basis B = (b1 , . . . , bn ) definieren wir die
darstellende Matrix durch
MB (γ)ij := γ(bi , bj ) .
I
Sind v , w ∈ V mit Koordinatenvektoren x und y (geschrieben als
Spaltenvektoren im Cn ), so haben wir nun auf Grund der konjugierten
Linearität im zweiten Eintrag
γ(v , w ) = x T MB (γ)y ,
Die Form γ ist insbesondere genau dann Hermitesch, falls
MB (γ)T = MB (γ) .
Bernhard Hanke
13 / 16
Definition
I
Es sei nun (V , h−, −i) ein euklidischer oder unitäter Vektorraum. Für
v in V setzen wir
p
kv k := hv , v i .
I
Ist (V , h−, −i) ein euklidischer Vektorraum und sind v , w ∈ V mit
v 6= 0 6= w , so definieren wir wie oben den Winkel φ zwischen v und
w durch die Gleichung
cos φ =
hv , w i
, wobei φ ∈ [0, π].
kv k · kw k
Bemerkung
Die zweite Definition kann nicht direkt auf den unitären Fall übertragen
werden.
Bernhard Hanke
14 / 16
Definition
Es sei V ein euklidischer oder unitäter Vektorraum.
I
Zwei Vektoren v , w ∈ W heißen orthogonal, falls
hv , w i = 0 .
Wir schreiben in diesem Fall v ⊥ w .
I
Wir nennen eine Familie (vi )i∈I von Vektoren in V orthogonal, falls
vi ⊥ vj für alle i 6= j.
I
Wir nennen diese Familie orthonormal, falls sie orthogonal ist und
zusätzlich kvi k = 1 für alle i ∈ I erfüllt.
I
Eine orthonormale Basis von V nennt man Orthonormalbasis von V .
Bernhard Hanke
15 / 16
Proposition (4.4)
Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und v , w ∈ V mit
v ⊥ w . Dann gilt
kv + w k2 = kv k2 + kw k2 .
Proposition (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 4.5)
Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Für alle v , w ∈ V gilt
dann
|hv , w i| ≤ kv k · kw k
und Gleichheit tritt genau dann ein, wenn v und w linear abhängig sind.
Folgerung (4.6)
Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Dann erhält man mit
der Setzung
p
kv k := hv , v i
eine Norm auf V .
Bernhard Hanke
16 / 16