Kapitel 9 Die Axiome der Quantentheorie zusammengefasst

Theoretische Physik fürs Lehramt: L2
Beatrix C. Hiesmayr
Faculty of Physics, University Vienna
[email protected]
WS 2015
Kapitel 9
Die Axiome der Quantentheorie
zusammengefasst
Hier folgt eine Zusammenfassung der Axiome der Quantentheorie. Die Quantenmechanik ist eine mathematische Theorie, um physikalische Systeme beschreiben zu können. Die Axiome der Quantenmechanik wurden
nach einem langen Prozess eingeführt und erscheinen auch nach längerem Studium nicht als direkt nachvollziehbar. Sie rechtfertigen sich durch den Erfolg.
All understanding begins with our not accepting the world as it
appears (Alan Kay).
The mots incomprehensible thing about the world is that it is
comprehensible. (Albert Einstein)
Hinweis: Heute wird in der mathematischen Praxis nicht mehr deutlich zwischen Forderung und Grundsatz
also Postulat und Axiom unterschieden. Das heißt je nach Autor werden die Axiome Postulate oder die
Postulate Axiome genannt. Wir verwenden hier beide Begriffe, damit Ihnen beid geläufig sind.
1. Postulat: Jedem (isolierten/abgeschlossenen) physikalischen System ist ein
komplexer vollständiger Vektorraum mit einem Inneren Produkt zugeordnet,
der auch Zustandsraum des physikalischen Systems oder Hilbertraum genannt
wird. Das physikalische System ist vollständig durch einen normierten Zustandsvektor aus diesem Hilbertraum beschrieben. Ein Zustand kann auch nur
durch
∑ eine Mischung (konvexe) Summe von reinen Zuständen darstellbar sein
( pi |ψi ⟩⟨ψi | mit pi > 0). Dies mathematischen Objekte heißen Dichteoperatoren.
• Die Quantentheorie sagt uns nicht, welchen Zustandsvektor wir für ein gegebenes physikalisches System
benützen sollten. Das muss jedesmal neu gelöst werden.
• Sie sagt uns auch nicht, welcher Zustandsvektor gerade für ein System gilt.
2. Postulat (1. Version): Die Entwicklung eines geschlossenen (=keine Wechselwirkungen mit der Umgebung) Quantensystems wird mit einer unitären
Transformation beschrieben. D.h. ist der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 im Zustand |ψ⟩, dann hängt der Zustand |ψ ′ ⟩ zu einem späteren
Zeitpunkt t2 > t1 durch einen unitären Operator zusammen: |ψ ′ ⟩ = U |ψ⟩.
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Kapitel 9. Die Axiome der Quantentheorie zusammengefasst
So wie uns die Quantentheorie nichts darüber aussagt, in welchem Zustand ein System gerade ist, gibt sie
uns auch keine Auskunft darüber, welcher unitäre Operator eine reale Dynamik eines physikalischen Systems
beschreibt. Hier drängt sich die Frage auf, welche unitären Operatoren entsprechen realen physikalischen
Situationen? Bei Qubits haben wir gesehen, dass alle unitären Operatoren – die Rotationen des Bochvektors
auf der Blochkugel entsprechen – realisiert werden konnten. Bei System mit mehr Freiheitsgraden (z.B.
höherer Spin) oder/und mehr Teilchen kann diese Frage nicht allgemein beantwortet werden.
Kein physikalisches System kann vollständig vom Rest getrennt werden, vielleicht mit Ausnahme vom Universum selbst. Allerdings stellt sich heraus, dass für viele physikalische Systeme eine solche Näherung sehr gut
erfüllt ist. Wie man so genannte offene Quantensysteme behandeln kann, ist derzeit Forschungsgegenstand.
Um ein genaueres Bild über die kontinuierliche Entwicklung eines Systems in der Zeit zu erhalten, kann
man das obige Postulate auch so formulieren:
2. Postulat (2. Version): Die Zeitentwicklung eines geschlossenen (=keine
Wechselwirkungen mit der Umgebung) Quantensystems ist durch die Schrödingergleichung gegeben:
i~
∂
|ψ⟩ = H |ψ⟩ .
∂t
(9.1)
Hier ist ~ das Plancksche Wirkungsquantum, das experimentell bestimmt werden muss und Ĥ ist der Hamiltonian des Systems, ein hermitischer Operator.
Wieder muss man für ein gegebenes System den Hamiltonian erraten und damit hat sich die Physik seit
den 20er Jahren herumgeschlagen. Oft, aber nicht immer funktioniert das Korrespondenzprinzip. D.h. man
nimmt den klassichen Hamiltonian und ersetzt die Variablen Ort und Impuls durch die entsprechenden Operatoren. Wir haben gezeigt, dass das erfolgreich ist für das harmonische Potential und das Coulombpotential
(Wasserstoffatom).
Da der Hamiltonian ein hermitischer Operator (Observable!) ist, gibt es eine Spektralzerlegung in seine
Eigenzustände:
Ĥ =
∑
E |E⟩⟨E|
(9.2)
E
Diese Zustände werden auch stationäre Zustände genannt (Ĥ hängt nicht explizit von t ab, Separationsansatz), da ihre Zeitentwicklung nur ein Phasenfaktor ist
|E⟩ −→ e− ~ Et |E⟩ .
i
(9.3)
Wie hängt erste Version mit zweiter zusammen?
2 −t1 )
|ψ(t2 )⟩ = |e− ~ H(t
{z
} |ψ(t1 )⟩
i
U (t2 ,t1 )
Jeder unitäre Operator U kann dargestellt werden als U = eiA mit A = A† , also hermitisch.
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(9.4)
3. Postulat: Messungen werden durch eine Menge an Operatoren {Mm } beschrieben (nicht notwendigerweise hermitisch, diese Einschränkung machen wir
unten). Diese Operatoren wirken auf dem Zustandsraum, mit dem das System
beschrieben wird. Der Index m bezieht sich auf die möglichen Messwerte. Die
Wahrscheinlichkeit den Messwert m zu erhalten, ist durch die Wahrscheinlichkeit
†
p(m) = ⟨ψ| Mm
Mm |ψ⟩
(9.5)
gegeben und das System befindet sich nach der Messung im Zustand
Mm |ψ⟩
√
.
†
⟨ψ| Mm
Mm |ψ⟩
(9.6)
Die Menge aller Messoperatoren muss die Vollständigkeitsgleichung erfüllen
∑
†
Mm
Mm = 1 ,
(9.7)
m
da diese gewährleistet, dass die Summer aller Wahrscheinlichkeiten der Messresultate eines Messapparates eins sein sollte:
∑
∑
†
1 =
p(m) =
Mm |ψ⟩
(9.8)
⟨ψ| Mm
m
m
Meist ist der Spezialfall realisiert, dass der Operator M hermitisch ist. Dann hat er die folgende Spektralzerlegung
M =
∑
m Pm ,
m
wobei Pm Projektoren Pm Pn = δn Pn sind.
Damit lässt sich das obige Postulat so formulieren, wie wir es kennen gelernt haben:
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(9.9)
Kapitel 9. Die Axiome der Quantentheorie zusammengefasst
Projektive Messungen einer Observablen M werden durch eine hermitischen
Operator M beschrieben mit der Spektralzerlegung
∑
M =
m Pm ,
(9.10)
m
wobei Pm Projektoren mit Pm Pn = δn Pn und mit P † = P (weil M hermitisch) sind. Diese Operatoren wirken auf dem Zustandsraum, mit dem das System beschrieben wird. Der Index m bezieht sich auf die möglichen Messwerte.
Die Wahrscheinlichkeit den Messwert m zu erhalten, ist durch die Wahrscheinlichkeit
†
p(m) = ⟨ψ| Pm
Pm |ψ⟩ = ⟨ψ| Pm |ψ⟩
(9.11)
gegeben und das System befindet sich nach der Messung im Zustand
√
Pm |ψ⟩
⟨ψ| Pm |ψ⟩
.
(9.12)
Die Menge aller Messoperatoren muss die Vollständigkeitsgleichung erfüllen
∑
†
Mm
Mm = 1 ,
(9.13)
m
da diese gewährleistet, dass die Summer aller Ergebnisse eines Messapparates
eins sein sollte:
∑
∑
†
1 =
p(m) =
⟨ψ| Mm
Mm |ψ⟩
(9.14)
m
m
Und wenn man mehrere Teilchen beschreiben möchte, braucht man noch ein Postulat:
4. Postulat: Ein zusammengesetztes physikalisches System wird durch das
Tensorprodukt der zwei Zustandsräume beschrieben. Formal durch |ψ⟩1 ⊗ |ϕ⟩2
geschrieben, wobei sich 1 auf das ersten Zustandsraum und damit auf das erste
Teilchen bezieht und 2 auf den zweiten Zustandsraum (=Hilberraum) bezieht.
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