6Wo_Orts+Impulsdarstellung _23+24-5-17.doc Quantenmechanischer Erwartungswert einer Observablen Q im Zustand . Wir haben Q q n Prob (q q n ) n qn n n 2 qn n n * n q n n n q nn n n n EWG Q̂ n n Q̂ n n Q̂ n n Q̂ Q n n n , 1̂ also Q Q̂ (5.24) Das ist die darstellungsunabhängige Verallgemeinerung des uns aus der Schrödinger´schen Wellenmechanik bekannten Ausdrucks Q d 3r * ( r ) Q̂ ( r ) (5.24') Projektionsoperator Wir definieren den Projektionsoperator/Projektor Def.: P̂ n n n (5.25) Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit der für Q im Zustand der Wert q n gemessen wird Prob (q q n ) n 2 n n P̂ n , also gleich dem quantenmechanischen Erwartungswert des Projektors im Zustand . Da mit Sicherheit einer der Eigenwerte von Q̂ gemessen wird, muss gelten 1 1 Prob (q q n ) n n 1 . n n Das ist die darstellungsunabhängige Formulierung der Normierungsbedingung, die wir in der Schrödinger´schen Wellenmechanik bereits in der Form d 3 r * ( r ) ( r ) 1 kennen gelernt haben ( statistische Interpretation der Wellenfunktion). 2 6. Darstellungen der Quantenmechanik Erinnere: Linearer Vektorraum . Jeder Vektor x ist als Linearkombination N x ci ei ; ci x ei , denn ei e k ik orthonormiert, i = 1, …, N endlich i 1 der Basisvektoren { e i } darstellbar, wobei die Entwicklungskoeffizienten ci die Skalarprodukte aus x und ei sind. Darstellung des Vektors x zur Basis { e i } heißt der Spaltenvektor aus den ci c1 ( x , e1 ) c 2 ( x, e 2 ) . x c ( x, e ) N N Hilbert-Raum H : Entwicklungssatz/Vollständigkeitsrelation in Dirac-Notation cn n n 1 mit c n n , denn n n' n n ' orthonormiert, wenn { n } ein VONS. Darstellung von zur Basis { n } heißt der Spaltenvektor c1 1 c2 2 . cn n 3 6.1 Ortsdarstellung der Quantenmechanik. Schrödinger´sche Wellenmechanik Als Basis in H verwenden wir das VONS aus den Eigenfunktionen r ' des Ortsoperators r̂ definiert durch r̂ r ' r ' r ' (6.1) r ' beschreibt den Zustand, in dem das Teilchen den definierten Ort r r ' besitzt. In (6.1) ist r ' eine reelle Zahl, also eine überabzählbar unendliche "kontinuierliche" Größe. Bei einer Ortsmessung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen im Zustand d 3r ' r ' r ' am Ort r ' zu finden gleich (4. Postulat) Prob ( r r ' ) r ' 2 : ( r ' ) 2 . Also ist die Ortsdarstellung des Kets die Wellenfunktion r' (r' ) . (6.2) ( r ' ) r ' ist der kontinuierliche Spaltenvektor aus den Entwicklungskoeffizienten des Zustands nach den Eigenfunktionen des Ortsoperators r̂ . Die Vollständigkeit des VONS { r } schreibt sich also in der Form d 3 r ( r ) r (mit "kontinuierlichem Index" r in r und ... ersetzt durch d r ... ) 3 n ( 6.2 ) und es gilt r ' d 3r ( r ) r ' r ( r ' ) d 3r ( r ) ( r r ' ) , d.h. r' r (r r' ) . (6.3) 4 Schlussfolgerung: Die Basisvektoren der Ortsdarstellung r ' zu unterschiedlichen Ortswerten r ' r sind zwar orthogonal, aber nicht im üblichen Sinne normiert, weil für r ' r streng genommen divergent. Lassen wir jedoch verallgemeinerten Orthogonalitätsbedingungen der Form (6.3) zu, dann bilden die Eigenfunktionen des Ortsoperators r̂ ein VONS Beachte: (i) 1̂ n n bzw. n 1 1̂ d 3r r r oder 1̂ dp p p (6.4) sind Darstellungen des 1̂ - Operators bei Wahl eines VONS { n } (diskret) bzw. { r } oder { p } , kontinuierlich. (ii) Wir verwenden im Folgenden auch die sogenannte Spektraldarstellung des Operators Q̂ Q̂ q n n n bzw. n 1 r̂ d 3r r r r oder p̂ d 3p p p p (6.5) Q̂ angewendet auf m , ergibt (im diskreten Fall) n 1 n 1 Q̂ m q n n n m q n n n m q m m , also die Eigenwertgleichung für Q̂ . Ortsdarstellung des Ortsoperators r̂ Die Ortsdarstellung von ist r (r ) . Auch die Operatoren Q̂ besitzen von der gewählten Basis abhängige, unterschiedliche Darstellungen im Hilbert-Raum H . Wie lautet die Ortsdarstellung des Ortsoperators r̂ ? Da r̂ r̂ , müssen wir zur Beantwortung dieser Frage die Ortsdarstellung des Zustandsvektors r̂ ausrechnen. Spektralda rstellung von r̂ ' zur Basis { r̂ ' } r r̂ r r̂ r 3 3 r r' r' d r' r' r' r' d r' r' , ( r r ') ' r d r ' r ' ( r r' ) r 3 r r ( r ) ( r ') also r r̂ r ( r ) (6.6) 5 In Ortsdarstellung ist r̂ einfach der Produktoperator: Die Wirkung von r̂ auf ist in Ortsdarstellung äquivalent zur Multiplikation mit dem Ort des Teilchens, also mit demjenigen r -Wert, der das Argument in ( r ) ist. Beachte: Eigenfunktion des Operators r̂ zum Eigenwert r0 sind nur die Funktionen, die für r r 0 gleich Null sind (also nicht etwa beliebige (r ) , wie man wegen r̂ (r ) r (r ) denken könnte), denn jedes Element des kontinuierlichen Spaltenvektors (r ) wird mit einer anderen Zahl multipliziert: (r 0 ) mit r0, (r ' ) mit r' usw. Also gilt r̂ (r r 0 ) r 0 (r r 0 ) . (6.7) Vollständigkeit von { r } bedeutet für beliebige aus H d 3r ( r ) r , also r ' d 3r (r ) r ' r bzw. ( r ' ) d 3r ( r ) ( r r ' ) . Das ist nichts anderes als die Entwicklung einer beliebigen Wellenfunktion ( r ' ) nach den Eigenfunktionen des Ortsoperators, also den -Funktionen. Das Matrixelement r ' r̂ r '' des Operators r̂ ist in Ortsdarstellung (also zur Basis { r } ) mit Hilfe von r̂ d 3 r r r r , (6.5), leicht zu bestimmen r r' r ' r̂ r '' d 3r r r ' r r r '' r ' ( r ' r '' ) r '' ( r ' r '' ) r r '' (6.8) ( r ' r ) ( r r '') Wir erkennen sofort, dass f̂ ( r ) ( r ) f ( r ) ( r ) gilt, vorausgesetzt, die Funktion f ( r ) ist in eine Taylor-Reihe entwickelbar. Außerdem gilt ( 1̂ d 3r r r einschieben) r ' f ( r̂ ) r '' d 3 r f ( r ) r ' r r r '' f ( r ' ) ( r ' r '' ) f ( r '' ) ( r ' r '' ) . 6 Ortsdarstellung des Impulsoperators Zustände mit definiertem Impuls sind in der Ortsdarstellung ebene de Broglie-Wellen rp i p r 1 e . 3/ 2 2 (6.9) Auch diese Eigenfunktionen können streng genommen nicht Zustandsvektoren im H sein, denn p ' p p' ________ i ( 6.7 ) ( p p' ) r 1 3 3 3 d r r r p d r p ' r r p d r e ( p p' ) . 3/ 2 2 ____________ 1̂ 1 Im letzten Schritt haben wir die Darstellung der -Funktion ( x ) dk e ikx verwendet. 2 Die Ortsdarstellung des Impulsoperators gewinnen wir aus der Projektion von p̂ p̂ auf r , wobei wir jetzt die Spektraldarstellung des Operators p̂ ausnutzen: r p̂ r p̂ r pp p p d 3 Spektralda rstellung von p̂ zur Basis { p } d 3p p i p r 1 e 3/ 2 2 d 3p p r p p p r d 3p r p p r i r . i Also gilt in der Ortsdarstellung p̂ i . (6.10) Analog finden wir r f ( p̂) f ( i ) r , (6.11) und für die Matrixelemente des Impulsoperators zur Basis { r } r ' p̂ r '' i r ' ( r ' r '' ) , sowie allgemeiner r ' f (p̂) r '' 1 f (r r ' ) . 3/ 2 2 (6.12) 7 Dabei ist f ( r ) : i p r 1 3 d p f ( p ) e die inverse Fourier-Transformierte der Funktion 3/ 2 2 f (p) , und wir setzen voraus, dass sich f (p) in eine Taylor-Reihe entwickeln lässt. Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung Bei der Bewegung eines Teilchens im Potenzial U(r) lautet die Hamilton-Funktion H ( p, r , t ) p 2 U(r, t ) . Nach dem 2. Postulat wird H(p, r, t ) der Operator Ĥ 2m p̂ 2 2m U( r̂ , t ) zugeordnet. Projezieren wir die darstellungsunabhängige Form der Schrödinger-Gleichung i Ĥ t i 1 1 2 r ( t ) r p̂ ( t ) r U ( r̂ , t ) ( t ) ( i) 2 r ( t ) U( r , t ) r ( t ) , t 2m 2m also i (5. Postulat) auf r folgt mit (6.6) und (6.11) ( r , t ) 2 2 ( r , t ) U ( r , t ) ( r , t ) . t 2m Das ist die uns bekannte Grundgleichung der Schrödinger´schen "Wellenmechanik". Fazit: Das Bohr´sche Korrespondenzprinzip der Schrödinger´schen Wellenmechanik „ Man ersetze die klassische Phasenraumvariable Q( p, r , t ) durch den Operator Q̂ entsprechend Q( p, r , t ) Q̂ Q( i , r , t ) “ ergibt sich zwangsläufig (d.h., ohne zusätzliche Postulate/Prinzipien) aus der axiomatischen Formulierung der Quantenmechanik im Hilbert-Raum, wenn das VONS { r } des Ortsoperators r̂ als Basis in verwendet wird. Die Darstellung r ( t ) : ( r , t ) von zur Basis { r } genügt der Schrödinger-Gleichung der Wellenmechanik. 8 6.2 Impulsdarstellung der Quantenmechanik ( Darstellung zur Basis { p } ) Wir verwenden nun als Basis in H das VONS { p } der Eigenfunktionen des Impulsoperators p̂ und gehen genauso vor, wie in Kapitel 6.1 ausführlich gezeigt. Eine Impulsmessung im Zustand ergibt mit der Wahrscheinlichkeit Prob ( p p' ) p' 2 den Wert p' wobei p : (p) (6.2') eine vollständig gleichwertige Darstellung von durch den kontinuierlichen Spaltenvektor (p) ist. Wir nennen (p) die Wellenfunktion im Impulsraum. Wegen der Vollständigkeit des VONS { p } lässt sich jedes H in der Form d 3p ( p) p darstellen. Daraus folgt ( 2) p' d 3p (p) p' p (p' ) d 3p (p) (p p' ) , d.h. p ' p ( p p ' ) . (6.3') Somit sind die Funktionen des VONS { p } im verallgemeinerten Sinne orthonormiert. i p r 1 e , (6.9), haben wir Unter Berücksichtigung von r p 3/ 2 2 ( p) p p i p r 1 3 3 3 d r r r d r p r r d r ( r ) e . 3 / 2 ( 2 ) ( r ) (6.13) 1̂ Also ist (p) die Fourier-Transformierte von (r ) (und umgekehrt). 9 Bem.: Die Fourier-Transformation ist die Entwicklung der Funktion ( p) nach dem VONS des Impulsoperators. Multiplikation mit e von ( x ) 1 dk e ikx auf 2 ( r ) i p r , Integration über d 3 p führt unter Ausnutzung i p r 1 3 d p ( p ) e . ( 2 ) 3 / 2 Impulsoperator in p-Darstellung Wir benötigen p p̂ p p̂ p ' p' p' p ' dp 3 Spektralda rstellung von p̂ zur Basis { p } d 3 p ' p ' p p' p' p p . ( p p ') Anwendung von p̂ auf WF (p) bedeutet also Multiplikation mit p : p p̂ p p , p̂ p . (6.10') in der Impulsdarstellung bewirkt der Impulsoperator eine Multiplikation mit p Ortsoperator in p-Darstellung Dagegen ist der Ortsoperator in p-Darstellung ein Differentialoperator im p-Raum, denn (Spektraldarstellung von p̂ und (6.9) verwenden) i pr 1 p r̂ d r r p r r d r r e p p d 3r p r r i p p 3/ 2 ( 2 ) i 3 p r̂ i p p , 3 r̂ ( p) i p ( p) also r̂ i p (6.4') 10 Einschub: Man findet (nachprüfen) (i) p F( r̂ ) F(i p ) p F(i p ) ( p) oder (ii) p' Q̂ p p' Q̂ p d 3r d 3r ' p' r ' r ' Q̂ r r p' d 3r d 3r ' i ( pr p 'r ') e r ' Q̂ r 2 3 für die Transformation der Matrixelemente eines Operators Q̂ aus der Darstellung zur Basis { p } in die Darstellung zur Basis { r } oder (iii) die Schrödinger-Gleichung in p-Darstellung i ( p, t ) t p 2 2m ( p, t ) d 3 p' U ( p p' ) ( p, t ) . 2 3 / 2 (6.14) Hier bezeichnet U die Fourier-Transformierte der potenziellen Energie. In Form einer Integralgleichung ergeben sich mitunter Vorteile bei der numerischen Lösung der Schrödinger-Gleichung. 11 6.3 Darstellungswechsel. Unitäre Transformationen Ausgangspunkt: Die experimentell überprüfbaren Vorhersagen der Quantenmechanik beziehen sich alle auf Skalarprodukte im H (vgl. Postulate, Kap. 5), nämlich auf Eigenwerte hermitescher Operatoren Q̂ n q n n q n n Q̂ n n Q̂ n , Messwahrscheinlichkeiten Prob ( q q n ) n 2 , Erwartungswerte Q̂ der Observablen Q bei Messung im Zustand , Dagegen ändern sich die Zustandsvektoren und die Operatoren Q̂ im Hilbert-Raum in Abhängigkeit von der Darstellung, wie wir im letzten Kapitel am Beispiel der Orts- und Impulsdarstellung gesehen haben. Frage: Welche Transformationen Û der Kets , H lassen das Skalarprodukt invariant? ~ Û Wir betrachten ~ und Û . Dann gilt ~ ~ ( Û ) Û Û Û Û Û 1̂ , d.h. für alle , , wenn Û Û 1 oder Û Û 1̂ , also Û unitärer Operator. (6.15) Schlussfolgerung: Die Transformation der Kets , H (also der Übergang zwischen zwei VONS oder der Darstellungswechsel), die Skalarprodukte invariant lässt, wird durch einen unitären Operator Û vermittelt. Matrixschreibweise: Betrachte die VONS { n } und { k } . Entwickle n n k n k U kn k k nach { k } mit U kn : k n . k 12 Die so definierte Matrix U ist unitär, denn n ' n n ' n U*k ' n ' k ' k U k n U*k n ' U k n U n' k U k n also 1 U U . k, k' k k Unitäre Transformation eines Operators Der hermitesche Operator Q̂ besitze die Eigenfunktionen { n } mit dazugehörigen Eigenwerten qn. In der Basis seiner Eigenfunktionen wird Q̂ durch eine diagonale Matrix mit den Elementen dargestellt ( n' Q̂ n ) ( q n n ' n ) . In einer anderen Basis, { k } , ist die Matrixdarstellung von Q̂ i.a. nicht diagonal ~ ~ ~ Q̂ ( n' Q̂ n ) U *k ' n ' k' Q̂ k U k n U *k ' n ' Q k ' k U k n U n' k ' Q k ' k U k n U Q U k k' k k' k k' Fazit: Die Matrix zum Operator Q̂ kann durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden. ~ ˆ Û folgt mit (6.15) Aus Q̂ Û Q ~ ˆ Û Q̂Û . Q (6.16) Insgesamt gilt bei einem Basiswechsel in H : (i) ~ Û , Ket (ii) ~ Û , Bra (iii) ~ ˆ Û Q̂ Û und Operator Q̂ Q (iv) ~ ~ ( Û ) Û Û Û . Zustandsvektoren und Operatoren ändern sich, aber die Skalarprodukte bleiben invariant. 13 Beachte: Für die Transformation des Kommutators [ Â, B̂ ] gilt ~ ~ ~ ˆ ,B ˆ ] ÛÂÛ ÛB̂Û ÛB̂Û ÛÂÛ Û( ÂB̂ B̂Â) Û [ Â, B̂ ] [A (6.17) Ob zwei Operatoren vertauschbar sind oder nicht, ist unabhängig von ihrer Darstellung. Weitere Eigenschaften unitärer Operatoren ( Übung) (i) EW unitärer Operatoren können nur komplexe Zahlen vom Betrag Eins sein. (ii) ~ ~ Q ˆ der adjungierte des transformierten Operators und der ˆ Q transformierte des adjungierten Operators stimmen überein. Mit anderen Worten: Die unitäre Transformation und die Adjungation eines Operators sind vertauschbar. (iii) Ist Q̂ Q̂ hermitesch, dann ist Û ei Q̂ unitär, vorausgesetzt * ist reell, * denn Û e i Q̂ e i Q̂ also Û Û 1̂ . ■ i z.B. der Zeittranslationsoperator T̂( t ) exp Ĥ t , bei dem die Zeit die Rolle des Parameters übernimmt. 6.4 Dynamik von Quantensystemen. Heisenberg-Bild. Integrale der Bewegung Bisher ist die Zeitentwicklung des Zustands eines quantenmechanischen System durch die Zeitabhängigkeit des Zustandsvektors ( t ) (abgesehen von Zustandsreduktion infolge einer Messung) gemäß i ( t ) Ĥ ( t ) t Schrödinger-Bild gegeben. 14 Nun definieren wir den Zeitentwicklungsoperator Û ( t, t 0 ) Def.: ( t ) Û ( t, t 0 ) ( t 0 ) , Û ( t 0 , t 0 ) 1̂ . Zeitentwicklungsoperator (6.18) Dieser Operator muss unitär sein, damit die Normierung erhalten bleibt: ( t ) ( t ) ( t 0 ) Û ( t , t 0 ) Û( t , t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 ) wenn Û ( t , t 0 ) Û 1 ( t , t 0 ) . Der Zeitentwicklungsoperator ist Lösung der Gleichung i Û( t , t 0 ) Ĥ Û( t , t 0 ), Û( t 0 , t 0 ) 1̂ . t (6.19) Heisenberg-Bild Def.: H : Û ( t, t 0 ) ( t ) . (6.20) H ist ein konstanter, zeitunabhängiger Zustandsvektor, denn H Û ( t, t 0 ) ( t ) Û ( t, t 0 ) Û( t, t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 ) Rücktransformation: ( t ) : Û( t , t 0 ) H . Die Transformation der Operatoren in das Heisenberg-Bild erfolgt nach den Regeln für unitäre Transformationen, also Q̂ H ( t ) Û ( t, t 0 ) Q̂( t ) Û( t, t 0 ) bzw. Q̂( t ) Û( t, t 0 ) Q̂ H ( t ) Û ( t, t 0 ) . (6.21) 15 Konservative Systeme In diesem Fall ist Ĥ zeitunabhängig und die Lösung von (6.19) lautet Û( t , t 0 ) e i Ĥ ( t t 0 ) . Ĥ und Û sind also miteinander vertauschbar. Die Operatoren anderer Observabler sind aber im allgemeinen zeitabhängig i Q̂ H ( t ) e Ĥ ( t t 0 ) Q̂( t ) e i Ĥ ( t t 0 ) bis auf diejenigen, die mit Ĥ kommutieren. Für die vollständige Ableitung nach der Zeit folgt aus (6.21) d Û Q̂ Û Q̂ H ( t ) Q̂ Û Û Û Û Q̂ dt t t t und unter Verwendung von i Û Ĥ Û bzw. i Û Û Ĥ aus (6.19) t t 1 Q̂ Q̂ d 1 1 Q̂ H ( t ) Û Ĥ Q̂ Û Û Û Û Q̂ Ĥ Û Û (Q̂ Ĥ ĤQ̂) Û Û Û , t t dt i i i Q̂,Ĥ H Q̂ H , Ĥ H Def .: Q̂ H t also insgesamt die Bewegungsgleichung der Operatoren im Heisenberg-Bild i d Q̂ H Q̂ H ( t ) Q̂ H , Ĥ H i dt t (6.22) Fazit: Im Heisenberg-Bild sind die Zustandvektoren zeitunabhängig. Die Operatoren sind dagegen zeitabhängig, auch wenn der entsprechende Operator im Schrödinger-Bild nicht explizit von der Zeit abhängt. Die zeitliche Entwicklung des quantenmechanischen Systems ist im Heisenberg-Bild vollständig in den Bewegungsgleichungen der Operatoren enthalten. 16 Integrale der Bewegung Def.: Die Observable Q heißt Integral der Bewegung, wenn Q nicht explizit von der Zeit abhängt und Q̂ mit dem Hamilton-Operator des betrachteten quantenmechanischen Systems vertauschbar ist. Für ein Bewegungsintegral Q ist der quantenmechanische Erwartungswert für beliebige Zustände ( t ) zeitunabhängig, d. h., d Q̂ 0 . dt Man kann zeigen, dass für ein Integral der Bewegung (Eigenwertgleichung Q̂ n q n n ) mit zeitunabhängigen Eigenwerten und Eigenfunktionen) sogar die Messwahrscheinlichkeiten Prob(q = qn) n ( t ) 2 2 c n ( t ) zeitunabhängig sind. In der Quantenmechanik hat eine Erhaltungsgröße/Integral der Bewegung i.a. keinen scharfen 2 Wert. Eine Messung liefert ein qn mit der zeitunabhängigen Wahrscheinlichkeit c n ( t ) . Beachte die Korrespondenz {Q, H } i [ Q̂, Ĥ ] zwischen den Poisson-Klammern aus Q und H in der Hamilton´schen Mechanik f Q dq i Q dp i Q f Q H Q H Q d Q , Q( p, q, t ) Q, H dt t p i q i t p i dt t i 1 q i dt i 1 q i p i und den Kommutatoren der zugeordneten Operatoren Q̂ und Ĥ im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik entsprechend (6.22). 17 Einschub: Zusammenfassung Hilbert-Raum H Zustandsvektor Basis { n } , diskret oder kontinuierlich, z.B. VONS der Eigenfunktionen des Operators Q̂ Q̂ zur klassischen Observablen Q Orthonormierung diskrete Basis n n' n n ' ( n n' ) kontinuierliche Basis Vollständigkeit/Superposition c n n n , also c n : n , diskrete Basis n n 1 n 1 dn n n , kontinuierliche Basis nützlich n n 1̂ , Q̂ q n n n , diskrete Basis n 1 n dn n n 1̂ , Q̂ dq q n n , kontinuierliche Basis Darstellung zur Basis { n } c1 1 c2 2 cn n (c*1 , c*2 ,c*n ,) ( 1 , 2 , n , ) Skalarprodukt : linearer Operator ' Q̂ Q̂ , hermitescher Operator Q̂ Q̂ * Q̂ Q̂ Q̂ Q11 Q12 ... Q1 j ... Q 21 Q 22 ... Q 2 j ... , Q : n Q̂ n Matrixdarstellung, Basis { n } Q̂ ij i j Qij ... Qi1 Qi 2 Basiswechsel: ~ ~ Û , ~ Û , Q ˆ Û Q̂Û , Û Û 1 , Skalarprodukte invariant 18