Übung 11: Schrödingergleichung und Operatoren

Dr. Martin O. Steinhauser
Physikalische Chemie IV (Teil 2)
Universität Basel
Herbstsemester 2015
Übung 11: Schrödingergleichung und Operatoren
Ausgabe: Montag, 23. 11.
Rückgabe: Donnerstag, 3.11.
Besprechung: Freitag, 4.11.
In diesen Übungsblatt beschäftigen wir uns mit der Schrödingergleichung, sowie der Dirac-Darstellung von
Operatoren in der Quantenmechanik.
1. Schrödingergleichung
a) Von einem System seien die (nicht entarteten) Eigenwerte Ei und deren Eigenfunktionen |ϕi i des
Hamilton-Operators Ĥ gegeben. Geben Sie die zeitunabhängige Schrödingergleichung an. Wie sind
Ĥ, Ei und |ϕi i durch die Schrödingergleichung verknüpft?
b) Das System befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 in einem Eigenzustand ϕn (x) des Hamilton-Operators.
∂
Zeigen Sie durch Einsetzen in die zeitabhängige Schrödingergleichung i~ ∂t
Ψ = ĤΨ, dass der Zustand
des Systems zu allen späteren Zeiten gegeben ist durch
Ψ(x, t) = e−iωn t ϕn (x),
und bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen den Frequenzen ωn und den Energien En der
Zustände.
Hinweis: Wiederholen Sie die Rechnung aus der Vorlesung, in der die Wellenfunktion durch einen
Produktansatz Ψ(x, t) = f (t)ϕn (x) dargestellt wird.
2. Dirac-Darstellung von Operatoren
Die Matrixelemente Aij eines linearen, hermiteschen Operators Â in der Quantenmechanik sind gegeben
durch
Aij = hϕi |Â|ϕj i ,
(1)
wobei die Vektoren {|ϕn i} eine beliebige vollständige Orthonormale Basis (VON Basis) im Hilbertraum
H bilden.
a) Überprüfen Sie durch Rechnung, ob die Spur Sp(Â) =
vom verwendeten VON System {|ϕn i} ist.
P
n hϕn |Â|ϕn i
des Operators Â unabhängig
b) Ist Â |Ψi derselbe quantenmechanische Zustand wie c |Ψi, wobei |Ψi ein beliebiger Hilbervektor und
c eine beliebige komplexe Zahl ist? Begründen Sie Ihre Antwort!
c) Prüfen Sie durch Rechnung, ob der Operator Â mit den angegebenen Matrixelementen (Â)ij und der
imaginären Einheit i mit i2 = −1 hermitesch ist:
!
3
2+i
Â = (Â)ij =
.
(2)
2−i
1
Hinweis: Für einen hermiteschen Operator gilt: Â = Â† .
d) Warum benutzt man in der Quantenmechanik hermitesche Operatoren?
3. Eigenwertgleichung
Der lineare Operator Â befolge die Eigenwertgleichung
Â |ai = a |ai .
Der inverse Operator Â−1 existiere. Zeigen Sie, dass er denselben Eigenzustand besitzt und berechnen Sie
den zugehörigen Eigenwert.
Hinweis: Multiplizieren Sie die Eigenwertgleichung mit Â−1 von links.
4. Unitäre Operatoren
¯
Eine unitäre Transfomation eines Operators Â ist gegeben durch: Â = Û ÂÛ † . Für einen unitären Operator
Û gilt: Û † = Û −1 ⇔ Û † Û = E, mit E =Einheitsmatrix.
a) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte eines unitären Operators Û komplexe Zahlen vom Betrag 1 sind.
Hinweis: Schreiben Sie die Eigenwertgleichung für einen unitären Operator Û auf und multiplizieren
Sie diese Gleichung dann von links mit ha| Û , wobei |ai der Eigenvektor von Û ist.
b) Bleibt ein hermitescher Operator Â auch nach einer unitären Transformation Û hermitesch?
Hinweis: Zeigen Sie durch Ausnutzen der hermiteschen Eigenschaft von Â, dass der transformierte
¯
Operator Â = (Û ÂÛ † ) selbst auch wieder hermitesch ist.
c) Bleiben zwei vertauschbare Operatoren Â und B̂ auch nach unitärer Transformation Û in jedem Fall
vertauschbar?
Hinweis: Für zwei vertauschbare Operatoren Â und B̂ verschwindet der Kommutator: [Â, B̂]− =
ÂB̂ − B̂ Â = 0.
5. Lineare Operatoren
Prüfen Sie, ob die folgenden Operatoren Â linear oder nichtlinear sind.
a) Âf (x) = ln f (x).
b) Âf (x) = 1/f (x).
Hinweis: In der Vorlesung wurde gezeigt, was Linearität eines Operators bedeutet. Überprüfen Sie
diese Bedingung.
Viel Erfolg und Freude beim Üben!