Lernhilfe zur Diplomprüfung Experimentalphysik

Lernhilfe zur Diplomprüfung Quantenmechanik
Diese Zusammenfassung wurde für die Vorbereitung auf meine
Diplomprüfung erstellt. Bei Fehlern bitte ich um Korrekturhinweise.
Inhaltsverzeichnis
1 Historische Einführung
1.0.1 Interferenz und Beugung . . . .
1.0.2 Der äußere Photoeffekt . . . . .
1.0.3 Compton-Effekt . . . . . . . . .
1.0.4 Impuls eines Photons . . . . . .
1.1 Atommodelle & Korrespondenzprinzip
1.1.1 Bohrsches Atommodell . . . . .
1.2 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . .
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3
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3
3
3
3
3
2 Wellenmechanik
2.1 Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bedeutung von ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Wahrscheinlichkeitsstromdichte . . . . . . . . . .
2.4 Ehrenfest Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Zeitunabhängige (zeitfreie) Schrödingergleichung
2.6 1-dimensionale Quantensysteme . . . . . . . . . .
2.6.1 Stückweise konstante Potentiale . . . . . .
2.6.2 Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Streuprobleme . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
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5
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5
5
7
7
3 Allgemeiner Formalismus der QM
3.1 Vektoren & Operatoren . . . . . . . . . .
3.1.1 Bra- und Ket-Vektoren . . . . . . .
3.1.2 Operatoren . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Matrix-Darstellung von Operatoren
3.1.4 Eigenwertprobleme . . . . . . . . .
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3.2
Physikalische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Verträgliche und nicht verträgliche Observable .
3.2.6 Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation . . . .
3.2.7 Zeitliche Entwicklung . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8 Energie-Zeit-Unschärfefunktion . . . . . . . . .
3.2.9 Matrizenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
4 Wasserstoffatom
12
4.1 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Stationäre Zustände des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
1 Historische Einführung
1.0.1 Interferenz und Beugung
2 kohärente Lichtquellen (punktförmig) im Abstand d zueinandere ergeben ein Interferenzstreifen. Damit lässt sich Wellennatur des Lichtes bestätigen.
1.0.2 Der äußere Photoeffekt
Licht löst Elektronen aus einem Metall aus. Die kinetische Energie der austretenden Teilm 2
2
chen Ekin = m
2 v , die Messung ergibt eine Gleichheit zur Gegenspannung 2 v = eU .
Hertz konnte zeigen, dass der Strom proportional zur Intensität der Strahlung, die kinetische Energie hängt nur von der Frequenz (nicht von der Intensität) ab. Nach Einstein
muss Licht aus Teilchen der Energie hν = Wausl + m20 v 2 bestehen, die sich mit der
Geschwindigkeit c bewegen.
1.0.3 Compton-Effekt
Streuung von Röntgenstrahlung an freien (oder schwach gebundenen) Elektronen. Photon
gibt einen Teil seiner Energie beim Stoß mit einem Elektron ab (gestreute Wellenlänge
daher größer).
1.0.4 Impuls eines Photons
Photonen haben keine Ruhemasse (ansonsten wäre Masse der bewegten Photonen unh
endlich), Impuls p = mc = hν
c = λ
1.1 Atommodelle & Korrespondenzprinzip
1.1.1 Bohrsches Atommodell
1.2 Materiewellen
i
i
i
In Analogie zu Licht vermutet de
q Broglie,2 p = ~k auch für Materie gültig. Mit p pi =
2
2
m c
p2 − Ec2 = −m20 c2 folgt ω(k) = c k 2 + ~02 als Dispersionsrelation, womit sich die Pha2
sengeschwindigkeit vph = ωk = cv und die Gruppengeschwindigkeit vgr = dω
dk = v ergeben.
Überzeugende Schlussfolgerung: Teilchengeschwindigkeit ist gleich der Gruppengeschwindigkeit. Alle Experimente bestätigen Schlussfolgerung (Beugung von Elektronenstrahlen,
Protonenstrahl-Interferenzen uvm.)
1.3 Welle-Teilchen-Dualismus
pi = ~k i ⇒ Teilchen = Wellenpaket? XXX
3
2 Wellenmechanik
Ebene Welle
i
ei(kx−ωt) = e ~ (px−Et)
2.1 Schrödingergleichung
´
0
~2 02
Allgemeine Lösung ψ(x, t) = f (k 0 )ei(kx−ω t) d3 k 0 mit ~ω 0 = 2m
k + V (x) ergibt lineare
Differentialgleichung 1. Ordnung bezüglich der Zeit, Schrödingergleichung für ein Teilchen
im Potential V (x) genannt,
∂
~
i~ ψ(x, t) = −
+ V (x) ∆ψ(x, t)
∂t
2m
Kann als quantentheoretische Übersetzung von E =
∂
und p → ~i ∇ gesetzt werden.
i~ ∂t
p2
2m
gesehen werden, wenn E →
Operatorformulierung
2
Mit Impulsoperator p̂ = ~i ∇, Ortsoperator x̂ und Hamiltonoperator Ĥ = − ~m ∆ + V (x)
i~
∂ψ
= Ĥψ
∂t
2.2 Bedeutung von ψ
ψ wird Wellenfunktion, Zustandsfunktion oder Zustandsvektor genannt. |ψ(x, t)|2 kann
als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden. Damit ist ψ ∗ ψd3 x die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen zur Zeit t im Volumenelement d3 x am Ort
´ x anzutreffen. Das
Integral über den ganzen Raum dient als Normierungsbedingung ψ ∗ ψd3 x = 1.
Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformierte φ(p, t) =
1
(2π~)3/2
´
i
Ψ(x, t)e− ~ px d3 x erlaubt eine ähnliche In-
terpretation im Impulsraum. φ∗ φd3 p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Impuls
eines Teilchens zur Zeit t im Volumenelement d3 p an der Stelle p zu finden ist.
2.3 Wahrscheinlichkeitsstromdichte
´
´
hermitsch: Einen Operator Ĥ für den ψ ∗ (Ĥψ)d3 x = (Ĥψ)∗ ψd3 x für jede Funktion
seines Definitionsbereiches gilt, nennt man hermitsch.
Wahrscheinlichkeitsstromdichte: XXX
~
∗
∗
∗ ~
j=
(ψ ∇ψ − ψ∇ψ ) = Re ψ
∇ψ
2im
im
4
2.4 Ehrenfest Theorem
´
ψ ∗ xψd3 x
´
´
Mittelwert des Impulses: hpi = φ∗ pφd3 p = ψ ∗ ~i ∇ψd3 x
Mittelwert des Ortes: hxi =
Ehrenfest Theorem:
d
dt
hpi = hF i XXX
2.5 Zeitunabhängige (zeitfreie) Schrödingergleichung
Ĥ hänge nicht explizit von der Zeit ab (bisher erfüllt), dann folgt mit dem Ansatz
iEt
i
ψ(x, t) = ϕ(x)e−iωt = ϕ(x)e− ~ die Gleichung ∂ψ
∂t = ~ Eψ, womit sich die zeitfreie
Schrödingergleichung ergibt:
~2
Ĥϕ = Eϕ
oder
−
∆ + V (x) ϕ(x) = Eφ(x)
2m
2.6 1-dimensionale Quantensysteme
Gesucht sind stationäre Zustände der zeitfreien Schrödingergleichung, wobei die Abkür~2
~2
U (x) und E = 2m
genutzt werden. Man erhält Differetialgleichungen
zungen V (x) = 2m
vom Sturm-Lionville-Typ.
ϕ00 + [ − U (x)] ϕ = 0
Gesucht werden Lösungen, die im gesamten Intervall endlich, stetig und differenzierbar
sind. Falls ϕa und ϕb Lösungen zum selben sind, so auch die Linearkombination von
beiden.
2.6.1 Stückweise konstante Potentiale
kostantes Potential U = U0 = const:
√
ϕ = c1,2 e±ikx mit k = − U0 ist Lösung. Für > U0 wird k reell, die zwei Vorzeichen beschreiben Teilchenbewegung nach rechts und links, die Energie ist damit nicht
quantisiert und es handelt sich um monochromatische ebene Wellen (kräftefreies Teilchen). Die Überlagerung zu Wellenpaketen ist normierbar aber nicht mehr stationär. Für
< U0 wird k imaginär, wobei entweder die positive oder die negative Lösung unendlich anwächst und es damit keine physikalisch sinnvolle Lösung gibt, aber für stückweise
konstantes Potential brauchbare Lösung.
Potentialstufe:
Unterteilung in zwei Bereiche (I) und (II) mit U
√2 > U1 , dann sind zwei Fälle
√ möglich.
Dabei wird folgende Bezeichnung gewählt ki = − Ui für > U oder κi = Ui − für
< U.
5
• U2 > > U1 : Es ergibt sich in jedem Bereich eine Lösung, deren Vorfaktoren über
die Stetigkeit von ϕ und ϕ0 bestimmt werden können.
(
c1 eik1 x + c2 e−ik1 x (I)
ϕ=
⇒ c4 = 0, c3 = c1 + c2 , ik1 (c1 − c2 ) = κ2 c3
c3 eκ2 x + c4 e−κ2 x (II)
Vergleich zum klassischen Verhalten: Ein klassisches Teilchen bewegt sich auf den
verbotenen Bereich zu, es geschieht ein eleastischer Stop und es entfernt sich wieder. Das klassisches Teilchen hält sich dabei nur im Bereich (I) auf.
Quantenmechanisch: Im Bereich (I) kommt es zu einer Überlagerung der beiden
Teilchenströme (einlaufend und auslaufen), aber auch im Bereich (II) ist die Aufenthalltswahrscheinlichkeit größer 0 (klingt aber exponentiell ab).
Konstruktion eines Wellenpakets (damit zeitabhängige Lösung): Überlagerung von
Lösungen mit Energien 0 aus einem Intervall ∆ um herum. XXX
• > U2 > U1 : Der Teilchenstrom hat höhere Energie, ein Teil wird an der Potentialkante trotzdem reflektiert.
(
e−ik1 x + Reik1 x = ϕE + ϕR (I)
ϕ=
Se−ik2 x = ϕS
(II)
2 ~k1
1
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichten ergeben sich zu jE = − ~k
m , jR = |R| m und
2
jS = −|S|2 ~k
m
XXX
Unendlich hohe Potentialstufe:
Im Grenzfall U2 → ∞ geht auch κ2 → ∞ und somit die Wellenfunktion in
(
c sin(k1 x)e−iωt (I)
ψ=
0
(II)
über. Es zeigt sich, dass ψ am Rand einer unendlich hohen Potentialstufe verschwindet.
Unendlich hoher Potentialtopf:
(
0 |x| < a2
besitzt die allgemeine LöEin unendlich hoher Potentialtopf mit U =
∞ |x| > a2
√
√
sung ϕ = A sin ( x) + B cos ( x). Mit der Randbedingung ϕ ± a2 = 0 gibt es zwei
Möglichkeiten
h
i2
√
• A = 0, B 6= 0 und a2 = π2 + mπ ⇒ = (2m+1)π
a
• A 6= 0, B = 0 und
√
a2 = mπ⇒ =
Zusammengefasst ergibt sich =
werte. XXX
n2 π 2
a2
2mπ 2
a
und damit ein diskretes Spektrum der Energie-
6
2.6.2 Tunneleffekt
Ein Teilchenstrom von (I) trifft auf einen Bereich (II) mit Potential U0 > und Breite
a. Der Bereich (III) hinter der Barriere kann klassisch nicht erreicht werden.

−ikx + Reikx

(I)
e
κ
x
−κ
x
ϕ = Ae 0 + Be 0
(II)

 −ikx
Se
(III)
Die Koeffizienten können wiederum durch die Stetigkeit von \varphi und \varphi’ bestimmt werden. Die Transmission gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit T = |S|2 und die
Reflexion mit |R|2 = 1 − T .
T = |S|2 =
1
1+
m0 V0 a2
2~2
Der Tunneleffekt ist damit um so stärker, je flacher und schmaler der Potentialwall ist.
2.6.3 Streuprobleme
Ungebundene Zustände: Haben keine Einschränkung bei der Wahl der Zustände und
somit ein kontinuierliches Spektrum. Sie sind nicht normierbar, außer man fasst sie
zu Wellenpaketen zusammen, dann aber nicht staionär
Gebundene Zustände: Haben ein diskretes Spektrum und sind damit normierbar.
3 Allgemeiner Formalismus der QM
3.1 Vektoren & Operatoren
3.1.1 Bra- und Ket-Vektoren
ψ oder φ sind Darstellungen eines Vektors |ψ(t)i im unendlich dimensionalen HilbertRaum H. Er wird als Ket-Vektor bezeichnet und ist Basis einer verallgemeinerbaren
Schreibweise. Ein Ket-Vektor lässt sich als Spaltenvektor darstellen. Das Skalarprodukt
setzt eine weitere Form - den Bra-Vektor hψ(t)| - voraus, der sich als Zeilenvektor darstellen lässt.
X
hα|βi =
b∗i ai
i
In Matrix-Darstellung spricht man beim Wechsel zwischen |ψ(t)i und hψ(t)| vom Adjungieren. Dabei werden Zeilen & Spalten vertauscht und die Elemente komplex konjugiert
∗
(A+
ik = Aki ). Man erhält damit
hψ(t)| = |ψ(t)i+
7
3.1.2 Operatoren
Ein Operator  ist eine in einer Teilmenge von H definierte Funktion mit Werten aus
H, d.h. eine Umordnung, die gewisse Elemente von |ψ(t)i gewisse Elemente von H |ψ(t)i
zuordnet.
h
i
Man definiert den Kommutator Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â und nennt Operatoren mit verschwindendem Operator vertauschbare Operatoren. Ferner gilt
hφ| Â |ψi = hφ| Â |ψi = hφ| Â |ψi
Für einen hermitischen (symmetrischen) Operator gilt:
hφ| Â |ψi = hψ| Â |φi+
Diese Regel gilt auch für das dyadische Produkt:
|ψi hφ| = (|φi hψ|)+
Für einen selbstadjungierten Operator gilt :
 = Â+
3.1.3 Matrix-Darstellung von Operatoren
XXX
3.1.4 Eigenwertprobleme
XXX
Die Eigenwerte von selbstadjungierten Operatoren sind reell.
3.2 Physikalische Interpretation
3.2.1 Observable
Messbaren physikalischen Größen sind die selbstadjungierten Operatoren des HilbertRaumes eindeutig zugeordnet, man nennt sie Observablen. Mögliche Messwerte entsprechen den Eigenwerten des zugehörigen Operators einer Observablen.
Das Korrespondenzprinzip lässt sich verallgmeinern: Die Operatoren, die den kartesischen Orts- und Impulskoordinaten eines Teilchens zugeordnet sind, haben ein rein
kontinuierliches Eigenwertspektrum und es gelten die Heisenbergschen Vertauchungsrelationen.
~
[q̂j , q̂k ] = [p̂j , p̂k ] = 0
[p̂j , q̂k ] = δjk 1̂
i
8
3.2.2 Messprozess
Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch einen Vektor |ψ(t)i charakterisiert. In der quantenmechanischen Betrachtung ist nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage über zu erwartende Messwerte der Observablen möglich. Bei Messung einer Observablen A mit zugehörigem Operator  kommen die Eigenwerte an (oder im kontinuierlichen
Fall a(n)) in Frage.
 |ψn i = an |ψn i
 |ψ(n)i = a(n) |ψ(n)i
Ohne Entartung ergibt sich |ψ(t)i in A-Darstellung zu
ˆ
X
cn |ψ(t)i + dn c(n) |ψ(t)i
|ψ(t)i =
n
mit der Wahrscheinlichkeit wn = |cn |2 den Messwert an , beziehungsweise w(m)dn =
|c(n)|2 dn den Messwert im Intervall a(n) . . . a(n + dn) zu erhalten.
Parsevalsche Gleichung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten mus gleich 1 sein, beziehungsweise die identische Formulierung als Normierungsbedingung
ˆ
X
|cn |2 + dn |c(n)|2 = 1
k|ψ(t)ik2 = hψ| |ψi =
n
Zustandsänderung bei der Messung: Der undefinierte Zustand |ψi eines Systems geht
unmittelbar nach der Messung eines Eigenwertes an in den zugehörigen Eigenvektor
|ψn i über. Der Zustand |ψi spring bei der Messung von A mit einer Wahrscheinlichkeit |hψn | |ψi|2 in den Zustand |ψn i, es kommt zu einer akausalen Zustandsänderung. Es ist somit sichergestellt, dass bei einer sofortigen Messwiederholung der
gleiche Messwert ermittelt wird.
Im Falle des kontinuierlichen Spektrum wird man nur mit einer Genauigkeit ∆a
messen können und feststellen, dass a(n)in einem Intervall liegt. Der Systemzustand
geht mit der Messung in einen “Fast-Eigenvektor” über.
3.2.3 Erwartungswert
Der Erwartungswert oder Mittelwert von  ergibt sich zu
D E
X
X
hAi = Â
=
wn a n =
hψ| |ψn i hψn | |ψi an
n
= |ψi
n
"
X
#
|ψn i an hψn | hψ|
n
= hψ| Â |ψi
Ist  selbstadjungiert (beziehungsweise Observable) so sind die hAi reell. Der Erwartungswert kann auch über den Projektionsoperator P̂n = |ψn i hψn | definiert werden, womit obige Gleichung universell sowohl für diskrete wie auch kontinuierliche und entartete
Zustände gültig ist.
9
3.2.4 Streuung
In der Statistik wird die Streuung oder Varianz als mittlere quadratische Abweichung
definiert. Analog dazu muss ind er quantenmechanik gesetzt werden:
D E 2
(∆A)2 = hψ| Â − Â 1̂ |ψi = hψ| Â2 |ψn i − hψ| Â |ψi2
3.2.5 Verträgliche und nicht verträgliche Observable
Zwei Observable sind verträglich, wenn ein vollständig Orthonormales System aus gemeinsamen Eigenvektoren existiert. Ergibt die Messung eines Zustandes |ψn i mit dem
Operator  mit Sicherheit den Wert an und die mit B̂ den Wert bn , dann sind die Observablen A und B gleichzeitig
scharf messbar und man nennt die Observablen vertauschbar
i
h
(gleichzeitig gilt Â, B̂ = 0). XXX
3.2.6 Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
i
h
Seien A und B zwei nichtverträgliche Observable ( Â, B̂ 6= 0), dann gilt
∆A · ∆B >
iE
1 Dh
Â,
B̂
2
Die bekannteste Form ist der Spezialfall  = p̂k und B̂ = q̂k . Es folgt für den Kommutator
[p̂k , q̂k ] = ~i 1̂ und damit
~
∆pk ∆qk >
2
3.2.7 Zeitliche Entwicklung
Schrödinger Bild
So lange keine Messung stattgefunden hat, gilt die Schrödinger-Gleichung
i~ |ψS (t)i = Ĥ |ψS (t)i
2
~
Bei Bewegung in einem zeitunabhängigen Potential Ĥ = − 2m
∆+V (x) kann die zeitliche
Entwicklung umformuliert werden zu
|ψS (t)i = Û (t, t0 ) |ψS (t0 )i
mit dem unitären Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 ). Er wird definiert durch die zwei Gleid
chungen i~ dt
Û (t, t0 ) = Ĥ Û (t, t0 ) und Û (t0 , t0 ) = 1. Durch Messung eines vollständigen
Satzes verträglicher Observablen A,B,C. . . wird ein Anfangszustand |ψS (t0 )i = |abc . . .i
präpariert. Die weitere zeitliche Entwicklung wird durch den Zeitentwicklungsoperator
bestimmt. Eine erneute Messung führt zu einer Zustandsreduktion. Im Schrödinger-Bild
ändern sich Operatoren, die nicht explizit zeitabhängig sind, zeitlich nicht. Insbesondere
sind Orts- und Impulsoperatoren zeitunabhängig.
10
Im Spezialfall eines nicht explizit zeitabhängigen Hamilton-Operators, ergibt sich der
Zeitentwicklungsoperator
1
1
1
Ĥ n (t − t0 )n + . . .
Û (t, t0 ) = exp
Ĥ(t − t0 ) = 1 + Ĥ(t − t0 ) + . . . +
i~
i~
n!(i~)n
In diesem Sonderfall kann eine (scharfe) Energiemessung für t = t0 durchgeführt werden und es zeigt sich, dass es sich um einen stationären Zustand handelt (der Phasenfaktor
ist physikalisch ohne Bedeutung)
|ψS (t0 )i = |E >
i~
⇒
d
|ψS (t)i = Ĥ |ψS (t)i
dt
E
|ψS (t)i = e i~ (t−t0 ) |Ei
Heisenbergbild
Ein Operator im Schrödinger-Bild ÂS geht in das Heisenberg-Bild (Index H) über, indem
eine unitäre Transformation durchgeführt wird.
ÂH = Û −1 (t, t0 )ÂS Û (t, to )
|ψH i = Û −1 (t, t0 ) |ψS i
und
Damit ist ein Zustand des Systems |ψH i = Û −1 (t, t0 ) |ψS i = |ψS (t0 )i zeitunabhängig,
dafür ist ÂH auch dann zeitabhängig, wenn ÂS nicht explizit von der Zeit abhängt. Es
ergibt sich eine Bewegungsgleichung für einen Operator im Heisenbergbild
i
h
dÂH
∂ ÂH
i~
= ÂH , ĤH + i~
dt
∂t
i
h
∂ ÂH
Falls ∂t = 0 und ÂH , ĤH = 0, so nennt man ÂH eine Erhaltungsgröße. Für eine
Erhaltungsgröße ist die statistische Verteilung der Messwerte unabhängig vom Messzeitpunkt. Ein einmal scharf gemessener Wert, behält diesen Wert im weiteren zeitlichen
Verlauf. Für ein konservatives System ( ∂∂tĤ = 0) ist H eine Erhaltungsgröße.
Korrespondenzprinzip
Im Heisenberg-Bild wird die zeitliche Entwicklung des Quantensystems als zeitliche Entwicklung der Observablen beschrieben. Die Analogie zur klassischen Theorie ist sehr
weitgehend.
klassisch
quantenmechanisch
A = A(qk , pk , t) und H = H(qk , pk , t)
dA
dt
= {A, H} +
dqk
dt
dpk
dt
∂A
∂t
mit Poissonklammer
= {qk , H} =
ÂH
dÂH
dt
=
=
H H
H H
A(q̂
h k , p̂k , t)i und ĤH = H(q̂k , p̂k , t)
∂ ÂH
1
i~ ÂH , ĤH + ∂t mit Kommutator
dq̂kH
1
H
dt = i~ q̂k , ĤH
h
i
dp̂H
1
H , Ĥ
k
=
p̂
H
k
dt
i~
h
∂H
∂pk
∂H
= {pk , H} = − ∂q
k
11
i
∂ ĤH
∂ p̂H
k
H
− ∂∂Ĥ
q̂kH
=
=
3.2.8 Energie-Zeit-Unschärfefunktion
Die Vierervektoren pi = (px , py , pz , E/c) und xi = (x, y, z, ct) der speziellen Relativitätstheorie lassen mit der Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation ∆px ∆x > ~2 auch eine
analoge Beziehung zwischen Energie und Zeit vermuten. Allerdings ist der Zeit in der
Quantenmechanik kein Operator zugeordnet, daher muss eine andere Herangehensweise
betrachtet werden.
Seien Ĥ und  nicht explizit zeitabhängig, so erhält man im Heisenbergbild (3.2.7) mit
der Definition der Streuung (3.2.4) durch Bildung des Erwartungswertes und Betrages
D E
d  D
E
= Â, Ĥ ~ dt D
E
1
Mit der Schwarzschen Ungleichung ∆A∆E > 2 Â, Ĥ erhält man
∆A
~
>
∆E · dhAi 2
dt Dabei findet man in ∆t = ∆A/ dhAi
dt eine charakteristische Zeitdauer, in der sich die
D E
statistische Verteilung der Messwerte von A signifikant ( Â ändert sich näherungsweise
um ∆A) ändert. Da die Betrachtung für beliebige nicht explizit zeitabhängige Observablen gilt, muss sie auch für eine so definierte minimale Zeitdauer eingehalten werden,
womit man die erwartete Beziehung erhält.
∆E∆t >
~
2
3.2.9 Matrizenmechanik
Das Heisenberg-Bild in Energiedarstellung führt zur Heisenbergschen Matrizenmechanik.
Der Ortsoperator ergibt sich in Matrix-Darstellung xnm zu
X
x̂H = 1̂x̂H 1̂ =
|Em i hEn | xH |Em i hEn |
|
{z
}
n,m
xnm
Analog lässt sich der Impulsoperator in Matrix-Darstellung aufschreiben. Für den HamiltonOperator reicht auch eine Diagonalmatrix. Die Zeitabhängigkeit beispielsweise von xnm ergibt
sich zu
1
xnm = hEn | x̂H |Em i = hEn | Û + x̂S Û |Em i = e i~ (Em −En )(t−t0 ) hEn | x̂S |Em i
4 Wasserstoffatom
4.1 Drehimpuls
4.2 Stationäre Zustände des Wasserstoffatoms
12