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ÜBUNG 1
„Erinnerungen“ an Mathe & PC03:
Aufgaben:
1. Gegeben seien zwei komplexe Zahlen: z1 = 2eiπ/3 und z2 = 1+i 3 . Berechnen Sie: z1/z2, z1
- z2, z1 • z2 und z1 • z2*.
2. Berechnen Sie die folgenden Integrale:
∫ x cos(α x) dx, ∫ x cos
2
∫ x cos(α x) sin( βx) dx
(α x) dx,
∞
3. Gegeben sei das Integral ∫ e − x dx = π / 2 .
2
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
0
∞
− βx
∫ e dx und
2
0
∞
−β ( x−a)
dx,
∫e
2
wobei a eine Konstante ist.
−∞
4. Definieren Sie den Begriff Operator. Schreiben Sie in Ortsdarstellung die Ausdrücke der
folgenden Operatoren: (1) der Operator des Impulses in y-Richtung, (2) der Operator der
Koordinaten in x-Richtung, (3) der Operator der kinetischen Energie, (4) der Operator der
potentiellen Energie, (5) der Operator der totalen Energie (Hamilton-Operator), (6) die
Komponenten des Drehimpulsoperators?
5. Was ist ein Kommutator [ Aˆ , Bˆ ]? Wann sind zwei Operatoren vertauschbar und wann
nicht? Nennen Sie ein Beispiel für vertauschbare Operatoren und ein Beispiel für nichtvertauschbare Operatoren. Berechnen Sie die folgenden Kommutatoren:
[ yˆ , xˆ ], [ yˆ , pˆ y ], [ pˆ x , Tˆ ], [ xˆ , Tˆ ], [ p̂ x , V̂ ], [ x̂ , Ĥ ] und [ p̂ x , Ĥ ], wobei T̂, V̂ und Ĥ
sind die Operatoren der kinetischen, potentiellen und Gesamtenergien entsprechend.
6. Betrachten Sie ein Teilchen (Masse m) in einer Dimension x. Die Wellenfunktion des
Teilchen sei φ ( x ) = ln x − sin x . (i) Was ist x̂φ ( x ) ? (ii) Was ist x̂ 2φ ( x ) ? (iii) Was ist
p̂ xφ ( x ) ? (iv) Was ist p̂ x2φ ( x ) ? (v) Was gilt für den Kommutator [ x̂ 2 , p̂ x2 ]? (vi) Was ist
( x̂ 2 p̂ x2 − p̂ x2 x̂ 2 )φ ( x ) ?
7. Betrachten
Sie
die
drei
Operatoren,
die
auf
Funktionen
2
f(x)
wirken,
d
d
d

Aˆ f ( x) =
f ( x), Bˆ f ( x) = 2 f ( x), Cˆ f ( x) = 
f ( x)  . Bestimmen Sie die Komdx
dx
 dx

mutatoren [ Aˆ , Bˆ ], [ Aˆ , Cˆ ], [ Bˆ , Cˆ ].
2
3
8. Berechnen Sie das folgende Produkt: (d / dx + xˆ )