8. Woche

8. Woche
8.1
Operatoren für physikalische Größen in Ortsdarstellung
Als wir die Schrödinger-Gl. betrachtet haben, haben wir die Operatoren für
die Koordinaten und die Impulse definiert: Die Operatoren der Koordinaten
sind einfach q̂x = x·, q̂y = y· und q̂z = z·, die Operatoren der Impulskompo∂
∂
∂
, p̂y = −i~ ∂x
und p̂z = −i~ ∂z
. Die Operatoren von
nenten sind p̂x = −i~ ∂x
Koordinaten und von Impulsen kommutieren untereinander (sind vertauschbar ). Für Kommutatoren einer Koordinate und eines Impulses gilt
[q̂i p̂k ] = i~δik
mit i, k = x, y, z.
Die Operatoren, die eine Differentiation bewirken, wie p̂, nennt man Differentialoperatoren. Enthalten die Operatoren eine Integration, sind sie Integraloperatoren. Es können auch Integrodifferentialoperatoren vorkommen.
Einen Operator, der bei der Anwendung auf eine Fkt. aus einem bestimmten Funktionenraum, auf dem er definiert ist, eine Zahl ergibt, nennt man
ein Funktional. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit einRTeilchen in einem Interb
vall zwischen a und b zu finden (in 1D) ist P = a ψ ∗ (x)ψ(x)dx. Dies ist
ein Integraloperator und ein Funktional von ψ(x). Das Skalarprodukt zweier
Wellenfunktionen
Z ∞
ψ1∗ (x)ψ2 (x)dx
−∞
ist auch ein Funktional. Für solche Produkte werden wir (zunächst als Kurznotation) die folgende Bezeichnung einführen (”Dirac-Notation”)
Z ∞
ψ1∗ (x)ψ2 (x)dx = hψ1 |ψ2 i .
−∞
Diese Notation wird bald ihr Eigenleben bekommen!
8.2
Die Mittelwerte der Funktionen von Koordinaten
und Impulsen
Jeder physikalisch messbaren Größe wird in der Quantenmechanik ein Operator gegenübergestellt. Aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion folgt, dass, wenn eine Messgröße nur eine Funktion der Koordinaten
1
ist, so gilt in einem Zustand mit der WF ψ(x)
Z ∞
hF (x)i =
F (x)ψ ∗ (x)ψ(x)dx.
−∞
R∞
Man schreibt normalerweiser hF (x)i = −∞ ψ ∗ (x)F (x)ψ(x)dx und verwendet
dafür die Notation
hF (x)i = hψ|F |ψi .
R∞
Bemerkung: Oft muß man auch die Integrale −∞ ψ1∗ (x)F (x)ψ2 (x)dx, die
sog. Matrizenelemente, ausrechnen. Die Bezeichnung dafür ist
Z ∞
ψ1∗ (x)F (x)ψ2 (x)dx = hψ1 |F ψ2 i = hψ1 |F |ψ2 i .
−∞
Das Skalarprodukt ist daher hψ1 |ψ2 i = ψ1 |1̂|ψ2 .
I.A. sind die Messgrößen auch die Funktionen der Impulse: wir nehmen
zunächst an, dass die entsprechenden Funktionen in eine Taylor-Reihe entwickelt werden können. Da wir noch nicht mit dem allgemeinen Formalismus
vertraut sind, sollen wir hier zunächst einen Trick anwenden.
Das Verhalten des Teilchens in einem Potential kann durch ein Wellenpaket oder eine stehende Welle (Zustände des diskreten Spektrums) beschrieben
werden. Statt eines unendlichen Systems können wir ein sehr großes, aber
endliches System betrachten. Die Eigenschaften des physikalischen Systems
sollen nicht von der Randbedingungen sehr weit entfernt vom Messbereich
abhängen. Daher können wir diese frei wählen. Wir betrachten nun die periodischen Randbedingungen mit der Periode L (in einem Kasten von Volumen
Ω):
ψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y + L, z) = ψ(x, y, z + L).
z.B. für die freie Bewegung bekommt man die laufenden ebenen Wellen
ψk (r) = L−3/2 exp(ikr).
Anhand der Randbedingungen sind nur die diskreten Werte von k erlaubt
k=
2π
(nx , ny , nz )
L
wobei nx , ny , nz ganze Zahlen sind: statt des kontinuierlichen Spektrums
haben wir ein diskretes Spektrum bekommen, aber für L → ∞ wird der
2
Abstand zwischen den Niveaus beliebig klein. Wir nehmen an, dass der
Grenzübergang L → ∞ zu korrekten Eigenschaften des kontinuierlichen
Spektrum führen wird. Vorteil des Einsperrens des Systems in einen Kasten
ist dass jetzt alle Wellenfunktionen normiert sind! Die normierten ebenen
Wellen ψk (r) bilden ein orthonormiertes System
Z
ψk (r)ψk′ (r)dr = δnx n′x δny n′y δnz n′z .
Ω
Jede in dem L-Kasten Ω definierte Funktion kann als Summe solcher ebenen
Wellen aufgefasst werden (Fourier-Transformierte!):
X
ψ(r) =
ak ψk (r).
(1)
k
Aus den Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation kennt man dass
Z
ak =
ψk∗ (r)ψ(r)dr = hψk |ψi
(2)
Ω
R
(und a∗k = Ω ψ ∗ (r)ψk (r)dr = hψ|ψk i). Durch Einsetzen der Normierungsbedingung für ψ(r) bekommen wir
X
|ak |2
1 = hψ(r)|ψ(r)i =
k
(die ebenen Wellen mit unterschiedlichen k sind zueinander orthogonal!).
Für eine ebene Welle ist der Impuls p = ~k eindeutig definiert. Daher
gilt für ein Wellenpaket
X
hpi = ~
a∗k kak .
k
Es gilt:
kak = −i∇ψk (r)ak = i∇ψk∗ (r)ak .
Daher:
hpi = i~
XZ
k
∗
′
′
′
Z
ψ (r )ψk (r )dr
[∇ψk∗ (r)] ψ(r)dr.
|Ω
{z
} |Ω
{z
}
R
a∗k
kak
Partielle Integration in Ω [∇ψk∗ (r)] ψ(r)dr und die Annahme von periodischen Randbedingungen (womit das Oberflächenintegral verschwindet) ergibt
Z
Z
∗
[∇ψk (r)] ψ(r)dr = − ψk∗ (r)∇ψ(r)dr.
Ω
Ω
3
Dann:
hpi = −i~
XZ
k
= −i~
Z Z
Ω
∗
′
′
ψ (r )ψk (r )dr
Ω
drdr′ψ ∗ (r′ )
Ω
Z
"
X
|
Z Z
′
k
Ω
ψk∗ (r)∇ψ(r)dr
#
ψk∗ (r)ψk (r′ ) ∇ψ(r)
{z
δ(r−r′ )
= −i~
drdr′δ(r − r′ )ψ ∗ (r′ )∇ψ(r)
Ω Ω
Z
∗
=
ψ (r)(−i~∇)ψ(r)dr = hψ|p̂|ψi
}
Ω
(um zu sehen, dass
X
ψk∗ (r)ψk (r′ ) = δ(r − r′ )
k
ist, genügt es, δ(r − r′ ) nach dem vollständigen Funktionensystem von ψk (r′ )
zu entwickeln:
X
bk (r)ψk (r′ ),
δ(r − r′ ) =
k
R
ψ ∗ (r′ )δ(r
Ω k
Gl.(1), mit bk (r) =
− r )dr′ = ψk∗ (r), Gl.(2)). In gleicher Weise
kann man eine beliebige Potenz des Impulses bestimmen:
Z
n
hp i =
ψ ∗ (r)(−i~∇)n ψ(r)dr = hψ|p̂n |ψi .
′
Ω
Z.B. ist die kinetische Energie
2 Z
2 p
−~ ∆
∗
T =
=
ψ (r)
ψ(r)dr.
2m
2m
Ω
• Die Operatoren der messbaren Größen sind in der QM (anhand des
Superpositionsprinzip) die linearen Operatoren. Wenn eine Funktion
F (q, p) eine reelle physikalische Größe darstellt, ist sie eine reelle Funktion von p und q, ihr Mittelwert muß auch reell sein, d.h. hF i = hF i∗ ,
d.h.
D
E D
E
Ψ|F̂ Ψ = F̂ Ψ|Ψ ,
4
für alle möglichen Wellenfunktionen Ψ, worauf der Operator F̂ definiert
ist. Solche Operatoren nennt man die selbstadjungierten oder Hermiteschen Operatoren. Die Operatoren x̂ und p̂ sind jeweils selbstadjungiert.
Der korrekte Hamilton-Operator Ĥ (dessen Mittelwert die Energie des
Systems E ist) muß auch selbsadjungiert sein. Dafür muß man den aus
dem Korrespondenzprinzip bestimmten Ausdruck symmetrisieren.
• Wenn ein Operator F̂ hermitesch ist, muss der Mittelwert von F̂ auch
für die lineare Kombination von 2 Wellenfunktionen aus dem Definitionsbereich von F̂ reell sein: nehmen wir an, Ψ = Φ1 + λΦ2 .
D
E
Φ1 + λΦ2 |F̂ (Φ1 + λΦ2 )
D
E
D
E
D
E
D
E
= Φ1 |F̂ Φ1 + λ Φ1 |F̂ Φ2 + λ∗ Φ2 |F̂ Φ1 + |λ|2 Φ2 |F̂ Φ2 .
Der erste und der vierte Summand sind immer reell; die Summe vom
zweiten
D und dritten
E D muss auch
E reell sein. Das ist nur dann möglich
wenn Φ2 |F̂ Φ1 = Φ1 |F̂ Φ2 . Diese Beziehung wird oft als Definition
eines hermiteschen Operators benutzt.
Wenn der Operator F̂ nicht selbstadjungiert ist, ist es möglich, einen hermitesch konjungierten Operator F̂ + zu definieren:
D
E D
E
Φ2 |F̂ Φ1 = Φ1 |F̂ + Φ2 .
D
E
D
+
E
(es gilt gleichermassen F̂ Φ2 |Φ1 = F̂ Φ1 |Φ2 ). Die hermiteschen Operatoren sind solche, fr die F̂ = F̂ + .
• Ein zum Produkt zweier Operatoren F̂ = ÂB̂ konjugierter Operator
ist F̂ + = B̂ + Â+ . Um das zu sehen definieren wir Φ3 = B̂Φ1 , so dass
D
E
D
E D
E
Φ2 |ÂB̂Φ1 = Φ2 |ÂΦ3 = Φ3 |Â+ Φ2 =
D
E D
E
+
+ +
= B̂Φ1 |Â Φ2 = Φ1 |B̂ Â Φ2
• Das Produkt selbstadjungierter Operatoren  = Â+ und B̂ = B̂ +
ist selbstadjungiert, wenn diese Operatoren miteinander vertauschbar
5
h
i
sind, Â, B̂ = 0, da für jedes Φ gelten muß:
D
E D
E
Φ|ÂB̂Φ = Φ|B̂ + Â+ Φ ⇒
E D E D h
i E
D Φ| ÂB̂ − B̂ + Â+ Φ = Φ| ÂB̂ − B̂ Â Φ = Φ| ÂB̂ Φ = 0.
8.3
Die Fluktuationen und die Eigenwerte von Operatoren
Man kann die mittlere quadratische Abweichung der Messgröße F von ihrem
Mittelwert hF i in einem durch eine Wellenfunktion Ψ definierten Zustand
bestimmen. Die Abweichung ist ∆F = F − hF i, der zugehörige hermitesche
Operator ist
∆Fb = F̂ − hF i .
2
Der Operator ∆Fb ist auch hermitesch, und
∆Fb
2 =
2 D
E
b
b
b
Ψ| ∆F Ψ = ∆F Ψ|∆F Ψ
und wird durch das Integral
2 Z b 2
b
= ∆F Ψ dω
∆F
(3)
gegeben. Wir interessierenuns für die Situationen, wenn der Wert von F
2
scharf definiert wird, d.h.
∆Fb
= 0. Da der Integrand in Gl.(3) eine
nicht-negativ definierte Größe ist, kann dieser nur dann verschwinden, wenn
∆FbΨ = 0, d.h.
F̂ Ψ = hF i Ψ.
Die besonderen Werte der Parameter F = hF i sind die Eigenwerte des Operators F̂ , die entsprechenden Funktionen Ψ sind seine Eigenfunktionen. Z.B.
die Energien der diskreten Atomzustände sind die Eigenwerte des Hamiltonians. Die Gesamtheit der Eigenwerte stellt das Spektrum des Operators
dar. Man unterscheidet zwischen dem diskreten und dem kontinuierlichen
Spektrum.
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