1. Wiederholungsaufgaben - Operatormatrizen 1. Wiederholen Sie

Institut für Theoretische Physik
Quantentheorie II
April 2012
1. Wiederholungsaufgaben − Operatormatrizen
1. Wiederholen Sie den Begriff des Operators mit seinen Eigenschaften! Was ist ein linearer Operator? Wann spricht man von einem adjungierten, einem selbstadjungierten
oder hermiteschen Operator? Wie hängen die Eigenschaften transponiert, komplex
konjugiert und adjungiert zusammen?
2. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte eines hermiteschen (selbstadjungierten) Operators reell
und seine Eigenzustände (Entartungen?) orthogonal sind!
d
im 2-dimensionalen Raum der
dx
2π
Funktionen |f1 i = sin kx und |f2 i = cos kx (mit k =
reell und konstant).
a
(a) Bestimmen Sie im gegebenen Funktionenraum {|f1 i, |f2 i} die Operatormatrix von
L̂ sowie seine Eigenschaften (hermitesch, antihermitesch, unitär ...) !
3. Untersuchen Sie die Wirkung des Operators L̂ =
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von L̂ und die zugehörigen Eigenfunktionen, letztere im Intervall x ∈ (0, a) auf 1 normiert.
4. Berechnen Sie die Kommutatoren [L̂z , L̂+ ] und [L̂z , L̂− ]
wobei sich L̂+ = L̂x + iL̂y bzw. L̂− = L̂x − iL̂y aus den x − y−Komponenten des
Drehimpulsoperators bestimmen. Zeigen Sie an Hand der Wirkung beider Operatoren
auf die Wasserstoffwellenfunktionen ψnlm , warum L̂+ Aufsteigeoperator und L̂− Absteigeoperator genannt werden! Was folgt speziell für L̂+ ψ321 und L̂+ ψ211 ?
5. Die Linearkombination φ1 = 15ψ1 + 8iψ2 zweier orthonormierter Basisfunktionen ψ1
und ψ2 ist zu normieren! Eine zweite Linearkombination φ2 = aψ1 + bψ2 ist so zu
bestimmen, dass diese orthogonal zu φ1 ist!
6. Man löse das Eigenwertproblem für die selbstadjungierte Matrix


0 −i 0
1
 = √  i 0 −i 
2
0 i
0
Verifizieren Sie, dass die Eigenlösungen orthogonal sind und normieren Sie diese auf
eins!
7. In einem dreidimensionalen komplexen Hilbertraum seien zwei lineare Operatoren Â, B̂
durch ihre Wirkung auf die Vektoren einer orthonormierten Basis {|e1 i, |e2 i, |e3 i} folgendermaßen definiert:
√
√
i
B̂|e1 i = |e1√
i + i 2|e2√
i + |e3 i
Â|e1 i = 3|e
√ 1 i − i 2|e2 i + |e3√
Â|e2 i = i 2|e1 i√+ 2|e2 i + −i 2|e3 i B̂|e2 i = −i 2|e√
1 i + i 2|e3 i
Â|e3 i = |e1 i + i 2|e2 i + 3|e3 i
B̂|e3 i = |e1 i − i 2|e2 i + |e3 i
(a) Berechnen Sie die Operatormatrizen Âe , B̂e zu  und B̂ in der Basis der orthonormierten Vektoren {|e1 i, |e2 i, |e3 i}!
(b) Zeigen Sie, dass die Operatoren  und B̂ selbstadjungiert und vertauschbar sind!
(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von  und B̂ mit eventueller Entartung sowie ein
Orthonormalsystem {|f1 i, |f2 i, |f3 i} gemeinsamer Eigenvektoren von  und B̂!
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April 2012
(d) Welche Operator-Matrizen Âf , B̂f sind den Operatoren  und B̂ in dieser Basis
{|f1 i, |f2 i, |f3 i} zugeordnet?
(e) Existieren die inversen Operatoren Â−1 , B̂ −1 ? Falls ja, geben Sie ihre Wirkung auf
die Basisvektoren {|e1 i, |e2 i, |e3 i} an!
8. Ein Teilchen der Masse m befinde sich in einem unendlich tiefen (hohen) eindimensionalen Kastenpotenzial der Breite L
V (x) =
0 für 0 6 x 6 L
+∞ für
sonst
Zu einem bestimmten Zeitpunkt
sei seine Wellenfunktion durch
2 !
2
L
L
− x−
u(x) = A
4
2
gegeben. Die Normierungskonstante A ist zu berechnen!
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, bei Messung der Teilchenenergie zu
diesem Zeitpunkt den Messwert
~2 π 2 2
En =
n,
n ∈ N zu finden.
2mL2
(b) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Energie zu diesem Zeitpunkt durch
hEiu =
5~2
mL2
gegeben ist.
2