V. Quantendynamik im Heisenbergbild

Quantenmechanik I
SS 2004 – Quantendynamik im Heisenbergbild
54
V. Quantendynamik im Heisenbergbild
5.1) Heisenberg’sche Form der Bewegungsgleichung
Wir kommen nun nochmals zum Heisenbergformalismus zurück. Wir erinnern uns daran, dass der
Unterschied zwischen Schrödingerbild und Heisenbergbild der war, dass bei Heisenberg die
Zeitabhängigkeit in den Operatoren liegt und die Zustände zeitunabhängig sind, während bei
Schrödinger die Zeitabhängigkeit in den Zuständen zu suchen ist und die Operatoren
zeitunabhängig sind (außer es herrscht explizite Zeitabhängigkeit, doch dies wollen wir hier außer
Acht lassen). Dies lässt sich folgendermaßen ausdrücken:
A H (t ) = U † (t ) ⋅ A S ⋅ U (t )

 i
U (t ) = exp − Ht 
 h 
mit
Wir werden nun in einigen Schritten die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung (formuliert von
Dirac) herleiten:
(
) (
)
d H
d
d
i
i
A (t ) = U † (t ) ⋅ A S ⋅ U (t ) + U † (t ) ⋅ A S ⋅ U (t ) = U † H † ⋅ A SU − U † A S ⋅ UH =
dt
dt
dt
h
h
i
i
⋅ U † H ⋅ UU † ⋅ A S U − U † A S ⋅ UU † ⋅ HU = ⋅ U † HU ⋅ U † A S U − U † A SU ⋅ U † HU =
h
h
i
i
i
⋅ H ⋅ U † A S U − U † A SU ⋅ H = ⋅ H ⋅ A H (t ) − A H (t ) ⋅ H = ⋅ H , A H (t )
h
h
h
(
)
(
)
(
(
)
)
[
]
In dieser Herleitung wurde die Tatsache verwendet, dass der Hamiltonoperator mit dem
Zeitentwicklungsoperator kommutiert, d.h. [ H , U ] = HU − UH = 0 ⇒ HU = UH . Damit folgte
in der Herleitung:
U † HU = U †UH = H
Die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung ergibt sich also als Kommutatorrelation:
[
d H
1
A (t ) = ⋅ A H (t ), H
dt
ih
]
Was man daraus sofort sieht ist die Tatsache, dass, wenn ein Operator A mit dem Hamiltonoperator H
kommutiert, es eine Bewegungsintegral (Konstante der Bewegung) gibt:
[A
H
(t ), H ] = 0
⇔
A H (t ) = A H (0)
Beispiel:
Wir betrachten als erstes Beispiel das freie Teilchen. Der Hamiltonoperator für dieses Problem hat die
Form:
2
(
)
P
1
1 3 2
H=
=
⋅ Px2 + Py2 + Pz2 =
⋅ ∑ Pi
2m 2m
2m i =1
Wir berechnen nun für diesen Hamiltonoperator die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung. Wir
verwenden dabei die in den Übungen abgeleitete Kommutatorbeziehung [ X , P 2 ] = 2ihP und
[ P, X 2 ] = −2ihX . Somit ergibt sich:
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55
dPi (t ) 1
Pi 2 (t ) 
1
1 
= ⋅ [Pi (t ), H ] = ⋅  Pi (t ),
⋅ Pi (t ), Pi 2 (t ) = 0 ⇒ Pi (t ) = Pi (0 ) = const
=
2 m  2i hm
dt
ih
ih 
dX i (t ) 1
P 2 (t ) 
P (t )
1 
1
1
= ⋅ [ X i (t ), H ] = ⋅  X i (t ), i  =
⋅ X i (t ), Pi 2 (t ) =
⋅ (2ihPi (t )) = i
2ihm
2m  2ihm
dt
ih
ih 
m
[
]
[
]
Als Analogon zur klassischen Mechanik (x(t) = v·t + x0) ergibt sich auch hier durch integrieren die
gleiche Formel in Operatorschreibweise:
X i (t ) =
Pi (0)
⋅ t + X i (0 )
m
Beispiel:
Als zweites Beispiel betrachten wir ein Teilchen in einem Potential V(x). Der Hamiltonoperator hat
in diesem Fall die Form:
2
( )
( )
1 3 2
P
H=
+V X =
⋅ ∑ Pi + V X
2m
2m i =1
Auch in diesem Fall wird sich nach einer kurzen Rechnung das Analogon zur klassischen Mechanik
abzeichnen. Wir benötigen in diesem Fall die Verallgemeinerung der oben benutzten
Kommutatorrealtion:
[X i , f (Pi )] = ih ∂f (Pi )
∂Pi
[Pi , f ( X i )] = −ih ∂f ( X i )
∂X i
 1
dPi (t ) 1
P2
1 
∂
= ⋅ [Pi (t ), H ] = ⋅  Pi (t ), i + V ( X i (t )) = ⋅ [Pi (t ),V ( X i (t ))] = −
V ( X i (t ))
2m
∂X i
dt
ih
ih 
 ih

dX i (t ) 1
P 2 (t )
P (t )
1 
1
⋅ X i (t ), Pi 2 (t ) = i
= ⋅ [X i (t ), H ] = ⋅  X i (t ), i
+ V ( X i (t )) =
dt
ih
ih 
m
2m
 2ihm
[
]

P&i (t )
d 2 X i (t ) 1 &
1  Pi (t ) Pi 2 (t )
1 ∂
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
X
t
H
V
X
t
V
X
t
=
=
−
⋅
,
,
=
⋅
=
⋅
+


i
i
i
ih
ih  m
m ∂X i
m
2m
dt 2

[
]
Wie man sieht, ergibt sich hier das Analogon zur Newton’schen Bewegungsgleichung
m&x& = −∇V ( x ) in Operatorschreibweise:
m⋅
d 2 X i (t ) &
∂
V ( X i (t ))
= Pi (t ) = −
2
∂X i
dt
Als Abschluss dieser Beispiele steht das Ehrenfest-Theorem von 1927, wonach die
Erwartungswerte der Operatoren im Schrödingerbild als auch im Heisenbergbild jeweils gleich
sein müssen, da in beiden Bildern dieselbe messbare Größe dargestellt wird. Die Erwartungswerte
entsprechen dabei den in der klassischen Mechanik beobachteten Größen:
m⋅
( ) = dtd
r r
d2 r
X = − ∇V X
2
dt
r
P
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56
5.2) Der Harmonische Oszillator im Heisenbergbild
Der Hamiltonoperator des Harmonischen Oszillators hat mit dem selbstadjungierten Ortsoperator
X = X† und dem selbstadjungierten Impulsoperator P = P† die Form:
P 2 mω 2 2
H=
+
X
2m
2
Um diesen Hamiltonoperator als quadratische Form schreiben zu können, definiert man zwei neue,
nicht selbstadjungierte Operatoren a und a† :
a ≡
mω 
1 
⋅ X + i
P
mω 
2h 
a† ≡
mω
2h
1 

P
⋅ X − i
mω 

Wie man schnell zeigen kann, lassen sich Ortsoperator und Impulsoperator als Kombinationen
dieser beiden Operatoren schreiben:
a + a† =
a − a† =
mω
⋅ 2X
2h
mω 2i
P
⋅
2h mω
⇒
⇒
(
)
h
⋅ a + a†
2mω
mωh
P=i
⋅ − a + a†
2
X =
(
)
[
]
Die in diesem Fall einfache Kommutatorrelation zwischen diesen Operatoren lautet a, a † = 1 :
[a, a ] = m2hω ⋅  X
†

2
+



1
1
(PX − XP ) − mω ⋅  X 2 + 1 2 P 2 + i 1 ( XP − PX ) =
P2 + i
2
mω
mω
(mω )
(mω )
 2h 

mω  1
[P, X ] − i 1 [X , P] = mω ⋅  i 1 (− ih ) − i 1 (ih ) = mω ⋅  2h  = 1
⋅i
2h  mω
mω
mω
 2h  mω 
 2h  mω
Aus zwei beliebigen, nicht hermitischen Operatoren c und c†, lässt sich immer ein hermitischer
Operator durch Produktbildung bzw. Summenbildung konstruieren:
c ≠ c† ⇒
(c ⋅ c ) = (c )
† †
† †
⋅ c† = c ⋅ c†
bzw.
(c + c )
† †
( )
= c† + c†
†
= c† + c = c + c†
Somit konstruieren wir aus den beiden nicht selbstadjungierten Operatoren a und a† einen
selbstadjungierten Operator N = a†a:
N = a†a =

 
mω  2
1
1
[X , P ] =  mω ⋅ X 2 + mω ⋅ 1 2 P 2 − mω ⋅ h  =
⋅  X +
P2 + i
2
2h 
mω
2h (mω )
2h mω 
(mω )
  2h
1  P 2 mω 2 2  1
1
1
⋅ 
+
X  − =
H−
hω  2m
2
2
 2 hω
⇒
1

H = hω ⋅  N + 
2

Somit kann man den Operator N durch den Hamiltonoperator H ausdrücken. Die beiden
Operatoren kommutieren somit auch und besitzen ein gemeinsames Eigensystem. Wir bezeichnen
mit n die Eigenwerte und mit | n > die Eigenvektoren des Operators N.
N n =nn
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57
Somit ergibt sich für die Energie (Eigenwerte des Hamiltonoperators) ausgedrückt in Eigenwerten
des Operators N:
1
1


H n = hω ⋅  N +  n = hω ⋅  n +  n
2
2


1

E n = hω ⋅  n + 
2

⇒
Dies ist das bekannte Ergebnis aus dem vorigen Kapitel. Hier wurde jedoch noch nichts über die
Ganzzahligkeit von n behauptet. Dies muss in der Folge noch bewiesen werden. Wir betrachten dazu:
[N , a] = [a † a, a] = a † aa - aa † a = [a † , a]⋅ a = −[a, a † ]⋅ a = −a
Wir berechnen nun auf zwei verschiedene Arten die Wirkung dieses Operators auf einen Eigenket und
erhalten schließlich durch Vergleich folgendes Ergebnis:
[N , a ] n
[N , a ] n
(N
= −a n
= ( Na − aN ) n = (Na − an ) n = ( N − n )a n
− n )a n = − a n
⇒
Na n = [n − 1]a n
Nun machen wir dasselbe für den hermitisch konjugierten Operator von a. Zunächst berechnen wir:
[N , a ] = [a a, a ] = a aa
†
†
†
†
†
[
]
- a † aa † = a † a, a † = a †
Nun berechnen wir wiederum die Wirkung des Operators auf einen Eigenket und erhalten schließlich:
(N − n )a †
n = a† n
⇒
Na † n = [n + 1]a † n
Durch die Wirkung der Operators N auf a n bzw. a † n erkennt man, welche Zustände dies sind:
a n = c1 n − 1
a † n = c2 n + 1
Zur Bestimmung der Proportionalitätskonstanten bilden wir das Normquadrat und erhalten
schließlich durch Vergleich:
an
a† n
2
= n a † a n = c1 ⋅ n − 1 n − 1
2
2
= n aa † n = c 2 ⋅ n + 1 n + 1
2
an
a† n
2
= n a†a n = n N n = n n n
2
= n aa † n = n a † a + 1 n = (n + 1) n n
Somit
ergibt
sich
schließlich
für
die
Proportionalitätskonstanten folgender Zusammenhang.
Da die Operatoren a und a† die Zustände wie Stufen einer
Leiter verknüpfen, nenne wir sie Leiteroperatoren.
a n = n n −1
a n = n +1 n +1
†
n +1
a†
n
a
n −1
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58
Zum Abschluss müssen wir jetzt noch zeigen, dass die n eine ganze Zahl sein muss. Dazu betrachten
wir einmal den Fall, (a) dass n nicht ganzzahlig sei und einmal, (b) dass n ganzzahlig sei:
Fall (a):
Wir erzeugen durch wiederholtes Anwenden des Operators a auf einen allgemeinen Zustand (
nicht ganzzahlig) immer tiefere Energiezustände, bis wir schließlich auf einen Energiezustand mit
negativem Energieeigenwert stoßen:
⇒ a α − 1 = α − 1 ⋅ α − 2 ......... a α − [α ] = α − [α ] ⋅ α − [α ] − 1
a α = α ⋅ α −1
Dieser Energiezustand hat einerseits einen negativen Energieeigenwert, andererseits muss das
Normquadrat eines jeden Zustandes positiv sein.
β N β =β β β =β <0
β N β = β a†a β = a k
2
≥0
Dies ist offensichtlich ein Widerspruch, der den Fall, dass n nicht ganzzahlig ist, ausschließt.
Fall (b):
Wir erzeugen wiederum durch wiederholtes Anwenden des Operators a auf einen allgemeinen
Zustand ( ganzzahlig) immer tiefere Energiezuständen, bis wir an eine Grenze stoßen, da durch
nochmalige Anwendung der Zustand vernichtet wird.
a α = α ⋅ α −1
⇒ a α − 1 = α − 1 ⋅ α − 2 ......... a α − α = a 0 = 0 − 1 = 0
Es kann also keinen negativen Energiezustand geben und der tiefste Energiezustand lautet 0 .
Wir erkennen nun also folgende Eigenschaften des Harmonischen Oszillators:
•
Für n kommen nur nicht-negative, ganzzahlige Werte in Frage (n = 0, 1, 2…)
•
Die Energieeigenwerte lauten E n = hω  n +
•
Durch wiederholtes Anwenden des Operators a† können aus dem Grundzustand sämtliche
Zustände generiert werden:


a† 0 = 1 1
(a )
(a )
[
]
† 2
0 = a† 1 1 = 1⋅ 2 2
† 3
0 = a†
( ) [ 1 1 ]= a [ 1⋅ 2 2 ] =
2
.....
(a )
† n
n =
0 = n! n
1
n!
1
hω
.
 . Die tiefste Energie ist somit E0 =
2
2
⋅ (a † ) 0
n
†
1⋅ 2 ⋅ 3 3
Quantenmechanik I
•
SS 2004 – Quantendynamik im Heisenbergbild
Man kann für die Leiteroperatoren eine Matrixdarstellung finden. Diese sieht wie folgt aus:

0 1




0
2


0
3

a=


0 ...


...
n


0 


0



 1 0


2 0

a =
3 0




... ...




n
0


a = n a k = n ⋅ δ n ,k −1
a † = n a † k = n + 1 ⋅ δ n,k +1
•
59
Indem man den Ortsoperator bzw. den Impulsoperator in Termen der Leiteroperatoren
ausdrückt (siehe weiter oben), kann man sehr elegant die Erwartungswerte von xn und pn
zwischen beliebigen Zuständen berechnen:
X2 =
(
mωh
(− a
− a) =
2
2
h
h
⋅ (a + a † )(a + a † ) =
⋅ a 2 + aa † + a † a + a †
2mω
2mω
P2 = −
mωh †
⋅ a − a a†
2
(
)(
†2
)
+ aa † + a † a − a 2
)
Wir wollen nun die Unschärferelation im Grundzustand berechnen und benötigen dazu die
Erwartungswerte von x, x², p, p². Diese lauten:
h
⋅ ( 0 a 0 + 0 a† 0 ) =
2mω
0x0 =
0 p0 =
0 x2 0 =
i
mωh
mωh
⋅ 0 a† 0 − 0 a 0 = i
⋅ ( 0 1 − 0) = 0
2
2
(
)
(
)
2
h
⋅ 0 a 2 0 + 0 aa † 0 + 0 a † a 0 + 0 a † 0 =
2mω
h
h
⋅ 0+ 0 0 +0+ 2 0 2 =
2mω
2mω
(
0 p2 0 =
h
⋅ (0 + 0 1 ) = 0
2mω
)
(
)
2
mωh
⋅ − 0 a † 0 + 0 aa † 0 + 0 a † a 0 − 0 a 2 0 =
2
mωh
mωh
⋅ − 2 0 2 + 0 0 +0+0 =
2
2
(
Die Unschärferelation ergibt:
)
(∆X )2
⋅ (∆P )
2
=
(X −
X
)
2
⋅ (P − P
)
2
=
h2 h2
≥
4
4
Quantenmechanik I
SS 2004 – Quantendynamik im Heisenbergbild
60
Wir konnten im vorigen Abschnitt mithilfe der Leiteroperatoren a und a† sehr elegant die
Energieniveaus des harmonischen Oszillators und auch Erwartungswerte xn und pn berechnen.
Es stellt sich aber noch die Frage, wie man von dieser Darstellung zurück in die
Ortsraumdarstellung kommt. Dazu wenden wir den Operator a auf den tiefsten Energiezustand an
und projizieren diesen neuen Zustand in die Ortsraumbasis. Dann ergibt sich:
a0 =0
x a0 =
⇒
mω
1 

⋅ x X +i
P 0 = 0
2h
mω 

Dabei haben wir nun lediglich den Operator a wieder durch X und P ausgedrückt. Indem wir uns
wiederum die Wirkung des Ortsoperators und Impulsoperators im Ortsraum ansehen, erhalten
wir schließlich eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung für den Grundzustand im Ortsraum:
mω 
h d 
⋅ x +
 x 0 =0
2h 
mω dx 
mω
d
x 0 =−
x x0
dx
h
⇒
Indem wir diese Differentialgleichung lösen erhalten wir die im Kapitel 4 hergeleitete
Wellenfunktion des Grundzustandes 0(x) mit einer Normierungskonstanten c0:
 1  x
 mω 2 
ψ 0 ( x ) = x 0 = c 0 ⋅ exp −
⋅ x  = c0 ⋅ exp − ⋅ 
 2  x0

 2h




2

 mit


h
mω
x0 =
Wie können wir aus daraus die Wellenfunktionen der angeregten Zustände ermitteln? Dazu
projizieren wir den Zustand für n = 1 in die Ortraumbasis und arbeiten wiederum mit den
Leiteroperatoren:
ψ 1 (x ) = x 1 = x a † 0 =
mω
1 

⋅ x X −i
P 0 =
2h
mω 

d 

⋅  x − x 02  x 0
dx 
2 ⋅ x0 
1
Wie man sieht, kann man rekursiv aus der Wellenfunktion im Grundzustand die nächste
Wellenfunktion ableiten. Diese lautet dann:
ψ 1 (x ) =
 1  x

− x
⋅  x − x02 ⋅ 2  ⋅ c0 ⋅ exp − ⋅ 
 2  x0
x0 
2 ⋅ x0 

1



2
2



 = c ⋅ H (x ) ⋅ exp − 1 ⋅  x   mit H = 2 x
1
 1 1
 2  x 0  



Auf dieselbe Art und Weise kann man schließlich auch höhere Ordnungen von Wellenfunktionen
ableiten. Wir erhalten dabei:
ψ 2 (x ) = x 2 =
(a )
x
mω
† 2
2
2
1 
1
d


0 =
P 0 =
⋅  x − x02  x 0 =
⋅ x X −i
2
dx 
mω 
2!
2! ⋅ 2h
2! ⋅ 2 x0 

2
 1  x 2 

 2
2 d
2 d
4 d
x + x 0 2  x 0 = c2 ⋅ H 2 (x ) ⋅ exp − ⋅    mit H 2 = 4 x 2 − 2 x02
⋅  x − xx0
− x0
2 
 2  x0  
dx
dx
dx 
8 ⋅ x0 


1
Auf diese Art und Weise sind die Hermite-Polynome rekursiv definierbar und sämtliche
Wellenfunktionen für die möglichen Energieeigenwerte herleitbar.
ψ n (x ) = x n =
(a )
x
† n
n!
0 =
n! ⋅
(
c
2 x0
)
n
n
 1  x

2 d 
⋅  x − x0
 exp − ⋅ 
 2  x0
dx 





2




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61
Schlussendlich wollen wir noch das Zeitverhalten der Operatoren X, P, a, a† betrachten. Wir wissen
ja, dass im Heisenbergbild die Zeitabhängigkeit in den Operatoren liegt. Wir benutzen dazu die in
Kapitel 5.1 hergeleitete Heisenberg’sche Bewegungsgleichung und die dort angeführten Beispiele:

d
1
1  P2
∂
∂
[
]
P=
P , H =  P,
V (X ) = −
+ V ( X ) = −
dt
ih
ih  2m
∂X
∂X

 P
d
1
1  P2
X = [ X , H ] =  P,
+ V ( X ) =
dt
ih
ih  2 m
 m
 mω 2 X 2

2


 = − mω 2 X

Wie man sieht, stellen Orts- und Impulsoperator ein gekoppeltes System dar, da die Änderung des
Impulsoperators den Ortsoperator und die Änderung des Ortsoperator den Impulsoperator zur Folge
hat. Anders wird es sich mit den Leiteroperatoren verhalten, wie wir nun sehen werden:
[
]
[
]
da 1 
1 

= a, hω  a † a +  = −iω a, a † a = iω a † a, a = iω (− a ) = − iωa
dt ih 
2 

Dies ist aber nichts anderes als a& = −iω a . Somit besitzt der Operator a eine sehr einfache
Zeitentwicklung, nämlich:
a (t ) = a (0) ⋅ e − iω t
Analoges kann man auch für den Leiteroperator a† zeigen (wir verwenden auch hier wieder Ergebnis
aus der obigen Herleitung):
[
]
(
)
[
]
1 
da † 1  †

= a , hω  a † a +  = −iω a † , a † a = −iω a † a † a − a † aa † = −iω a † a † , a = iωa †
2 
dt
ih 

Somit besitzt auch der Operator eine sehr einfache Zeitentwicklung, nämlich:
a † (t ) = a † (0 ) ⋅ e iω t
Somit sieht man leicht, dass der Hamiltonoperator zeitlich invariant ist. Dazu betrachten wir
folgenden Ausdruck:
1
1
1
1




H (t ) = hω N (t ) +  = hω a † (t )a(t ) +  = hω a † (0) ⋅ eiωt a(0)e −iωt +  = hω a † (0)a(0) +  = H (0)
2
2
2
2




Durch Linearkombination der soeben hergeleiteten Zeitentwicklungen der Stufenoperatoren lässt
sich auch recht schnell die Zeitentwicklung des Orts- und Impulsoperators schreiben:
(
X (t ) =
)
h
⋅ a (t )+ a † (t ) =
2 mω
(
)
h
⋅ a (0 )⋅ e −iω t + a † (0) ⋅ e iω t =
2 mω
1
1
1
1 




P (0 ) e − iω t +  X (0 ) − i
P (0 ) e iω t  = X (0) ⋅ cos (ωt ) +
P(0) ⋅ sin (ωt )
⋅   X (0 ) + i
2 
mω
mω
mω




P(t ) = i
i
mωh
mωh
⋅ − a(t ) + a † (t ) = i
⋅ − a(0) ⋅ e −iωt + a † (0) ⋅ e iω t =
2
2
(
)
(
)
mω  
1
1

 

P(0) e −iωt +  X (0) − i
P(0) e iω t  = P(0) ⋅ cos(ωt ) − mωX (0) ⋅ sin(ωt )
⋅  −  X (0) + i
2  
mω
mω

 

Quantenmechanik I
SS 2004 – Quantendynamik im Heisenbergbild
62
Es stellt sich nun noch die Frage nach dem Übergang zur klassischen Mechanik. Das Problem dabei
besteht darin, dass der Erwartungswert des Ortsoperators quantenmechanisch immer 0 ist.
Klassisch betrachtet vollführt der Massenpunkt jedoch eine Oszillation.
Quantenmechanisch lässt sich dies durch sog. kohärente Zustände realisieren, das sind Zustände, bei
denen das Wellenpaket nicht wie üblich zerfließt. Es sind dies auch Eigenzustände des Operators
a zum Eigenwert (dabei ist i.A. komplex):
a λ =λ λ
Wie in den Übungen gezeigt wurde (Beispiel 32) hat dieser kohärente Zustand λ die Form:
λ = e− λ
2
/2
⋅ e λa 0
†
Wie auch in der Übung gezeigt, lautet der Erwartungswert des Hamiltonoperators im Zustand :


1
2
λ H λ = hω  λ + 
2
Man kann zeigen, dass dies für große den Übergang zur klassischen Mechanik darstellt, d.h. der
Massenpunkt vollführt im Potential eine Oszillation.