notfallblatt quantenmechanik - Website von Andreas Windisch.

NOTFALLBLATT QUANTENMECHANIK
Tutorium aus Quantenmechanik
08. Mai 2010
Andreas Windisch
WARNUNG: Dies ist eine NOTFALLKARTE die idealerweise nicht benötigt wird. Sollte dennoch ein Notfall in
Form eines Blackouts (momentaner Totalverlust der Orientierung im Hilbertraum) eintreten, dann ist diese Karte zu
konsultieren.
2. P̂ = P̂ † : Projektoren sind hermite’sch.
Verhalten im Notfall
1. Ruhe bewahren!
*
2. Problem erkennen: Was ist das Problem das ich lösen will?
C Funktionen von Operatoren
3. Objekte identifizieren: Was brauche
ich für die Lösung?
Sei F (Â) Funktion eines Operators Â. Ist Â ein beschränkter, linearer
Operator, so können wir F (Â) in eine Taylorreihe von Â entwickeln:
4. Problem lösen
∞
X
F (Â) =
n
an Â ,
n=0
*
mit an Entwicklungskoeffizienten. Die hermite’sche Konjugation
des Operators wird wie folgt gebildet:
A Formalisierung
Die Beschreibung der Theorie erfolgt in einem Hilbertraum H . Mit dem
Hilbertraum können wir das Problem und dessen Lösungen beschreiben
und untersuchen.
†
∗
dh.
∗
∞
X
†
F (Â ) =
*
mit δnm dem Kroneckerdelta
Der Kommutator zwischen zwei Operatoren (Observablen) ist definiert als:
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â.
Wenn zwei Operatoren (Observablen) kommutieren, so sind sie simultan diagonalisierbar. Solche Observablen können gleichzeitig beliebig
genau gemessen werden (Unschärferelation).
|ψi ∈ H
...
Ket, (Vektor)
∗
...
Bra
C
...
Skalarprodukt, (Zahl)
Â
...
linearer Operator
hφ|ψi ∈
D Kommutator und Antikommutator
Der Antikommutator zwischen zwei Operatoren (Observablen) ist definiert als:
{Â, B̂} = ÂB̂ + B̂ Â.
n=m
n 6= m.
Folgenden Objekten werden wir begegnen:
hφ| ∈ H
*
|AihB|
...
linearer Operator
E Spektraldarstellung
|φihφ|
...
Projektor,
Die Spektraldarstellung eines Operators ist
mit H ∗ dem Dualraum zum Hilbertraum H . Das Ket |ψi beschreibt
einen Zustand des Systems. Um den Zustand zu messen benötigen wir
Observable, die durch hermite’sche Operatoren auf dem Hilbertraum repräsentiert werden.
†
...
σ(Â) ∈
†
...
Unitär
Â = Â
Û
(Û Û
†
† n
*
Der Hilbertraum H besitzt eine Orthonormalbasis {|φi}. Zusammen
mit dem Skalarprodukt ha|bi können wir die Orthonormalität formulieren:
hφn |φm i = δnm
(
1,
0,
∗
an (Â ) .
n=0
B Basis, Zustände, Operatoren
δnm =
†
[F (Â)] = F (Â ),
−1
= Û
R
A=
X
|ai iai hai |.
i
In dieser Form ist die Matrixdarstellung des Operators diagonal, und
seine Eigenwerte können auf der Hauptdiagonale abgelesen werden.
Hermite’sch
= Û Û = 1),
*
†
mit σ(Â) dem Spektrum des Operators A.
Operatoren wirken auf Zustände und verändern diese:
F Vollständigkeit
Die Vollständigkeitsrelation der Basis ist ein mächtiges Werkzeug:
Für diskrete Basissysteme finden wir
′
Â|ψi = |ψ i,
bzw.
1=
|φi hφ|ψi = a|φi.
| {z }
X
|φi ihφi |,
i
C
a∈
Im letzteren Falle wurde mittels des Projektors |φihφ| die Komponente
des Zustandes |ψi in Richtung von |φi herausprojeziert. Ein Projektionsoperator (oder kurz Projektor) ist ein Operator der zwei Eigenschaften aufweist:
1. P̂ 2 = P̂ idempotent: ’Zweimaliges Projezieren ist so gut wie
einmaliges’.
in kontinuierlichen Basissystemen sieht die Vollständigkeitsrelation so
1=
aus.
- BITTE WENDEN! -
Z ∞
−∞
dj|ξj ihξj |
NOTFALLBLATT QUANTENMECHANIK
Tutorium aus Quantenmechanik
08. Mai 2010
Andreas Windisch
WARNUNG: Dies ist eine NOTFALLKARTE die idealerweise nicht benötigt wird. Sollte dennoch ein Notfall in
Form eines Blackouts (momentaner Totalverlust der Orientierung im Hilbertraum) eintreten, dann ist diese Karte zu
konsultieren.
G Matrixdarstellung von Kets & Op.
Mit der in Punkt F gezeigten Darstellung der 1 hat man ein mächtiges
Werkzeug gewonnen. Es eignet sich etwa um die Matrixdarstellung
eines Kets zu erhalten:
|ψi = 1|ψi =
X
i
Die Vorschrift für die Transformation des Operators Â erhalten wir
durch zweimaliges Einschieben der Eins:
′
Amn =
X
XX ′
∗
′
Umj Ajl Unl .
hφm |φj ihφj |Â|φl ihφl |φn i =
j
X
|ai i hai |ψi =
bi |ai i.
| {z }
i
C
Damit haben wir:
bi ∈
Damit haben wir alle Komponenten des Zustandes |ψi bezüglich der
gewählten, vollständigen Basis, die wir verwendet haben um die ’Eins
einzuschieben’. Es handelt sich tatsächlich um eine Matrixdarstellung, da wir nun schreiben können:
1
0 a
1
B a2 C
C
C
B a
C
B
C
3 C
C
B a
C
B
4 C
C
C
B
C
C = B . C.
B . C
C
B . C
C
C
B
C
B an C
C
C
B
C
@ . A
A
.
.
1Â1 =
XX
i
=
X
|ai i
j
Aij |ai ihaj |.
Û Âalt Û
=
Âalt
†
†
Û Âneu Û .
*
I Eigenwertproblem
Ganz analog können wir für die Matrixdarstellung eines Operators
vorgehen:
=
=
Âneu
1
0 ha |ψi
1
B ha2 |ψi
B ha |ψi
B
3
B ha |ψi
B
4
B
B
.
|ψi → B
.
B
.
B
B han |ψi
B
@
.
.
.
Â
j,l
l
Das Eigenwertproblem für einen Operator liefert uns dessen Spektrum (Eigenwerte) und Eigenzustände. In seiner Eigenbasis ist der Operator diagonal (siehe Spektraldarstellung). Die Eigenwerte hermite’scher Operatoren sind reell und werden als Messergebnis der entsprechenden Observable interpretiert. Das Vorgehen zum Lösen des Eigenwertproblemes ist aus der linearen Algebra bekannt:
1. Nullsetzen des charakteristischen Polynomes führt zur Säkulargleichung: det(A − λ1) = 0.
hai |Â|aj i haj |
|
{z
}
Matrixelement
2. Die Nullstellen liefern die Eigenwerte: λ1 , λ2 , . . .
3. Berechnung des dem jeweiligen Eigenwert zugeordneten Eigenvektors:
Bsp.: 2 × 2 Problem, betrachte Eigenwert λi :
i,j
Die Matrixelemente identifizieren wir als
„
Aij = hai |Â|aj i.
a11 − λi
a21
a12
a22 − λi
«
(i)
α1
(i)
α2
!
= 0.
Dies führt in der gewählten Basis zu einer quadratischen Matrix A:
0
B
B
A=B
B
@
A11
A21
A31
.
.
.
A12
A22
A32
.
.
.
Die Eigenwertgleichung in der Ket-Notation sieht so aus:
1
...
... C
C
... C.
C
A
.
.
.
A13
A23
A33
.
.
.
Â|ψi = a|ψi.
Bsp.:
Der Operator Â = (α|1ih2| + β|2ih1| + γ|1ih1| + δ|2ih2|) sieht als (2 × 2)
Matrix geschrieben so aus:
A=
„
γ
β
α
δ
«
Der Erwartungswert hÂi ist das mittlere Ergebnis der Messung Â auf
dem Zustand |ψi:
H Darstellungswechsel
Oft ist es von Vorteil mittels eines Darstellungswechsels in eine geeignetere Basis überzugehen. Ein solcher Übergang wird durch eine
unitäre Transformation vollzogen. Wieder wird uns hier das ’Tool’
der Vollständigkeit nützliche Dienste leisten.
Angenommen wir haben zwei vollständige, orthonormale Basissysteme
{|φn i} und {|φ′n i}. Jedes Basis-Ket |φn i der alten Basis kann in Termen der Kets der neuen Basis geschrieben werden:
X
′
′
|φm ihφm |φn i =
m
J Erwartungswert eines Operators
Der Erwartungswert hÂi von Â bezüglich eines Zustandes |ψi ist definiert durch:
hψ|Â|ψi
hÂi =
.
hψ|ψi
.
*
|φn i = 1|φn i =
*
X
′
hÂi =
X
X
|hψn |ψi|2
1
hψ|ψm ihψm |Â|ψn ihψn |ψi =
an
.
hψ|ψi m,n
hψ|ψi
n
Dabei haben wir zwei vollständige Sätze von Eigenvektoren von Â eingeschoben. Mit der Wahrscheinlichkeit Pn den Wert an nach Messung
der Observablen Â zu finden ist dann
Umn |φm i.
m
hÂi =
′
Umn = hφm |φn i,
a n Pn .
*
und die von der alten Basis {|φn i} in die neue Basis {|φ′n i} vermittelnde Matrix ist von der Form
0
hφ′1 |φ1 i
U = @ hφ′2 |φ1 i
hφ′3 |φ1 i
hφ′1 |φ2 i
hφ′2 |φ2 i
hφ′3 |φ2 i
1
hφ′1 |φ3 i
hφ′2 |φ3 i A .
hφ′3 |φ3 i
K Unschärferelation
Das Produkt der Unschärfen zweier Operatoren Â und B̂ können wir
mit der Unschärferelation angeben:
Wir wollen nun die Komponenten hφ′n |ξi des Zustandes |ξi in der
neuen Basis {|φ′n i} in Termen der Komponenten hφn |ξi der alten
Basis {|φn i} ausdrücken.
hφm |ξi = hφm |1|ξi =
′
X
n
Dabei ist
′
X ′
X
hφm |φn ihφn |ξi =
Umn hφn |ξi.
n
n
- BITTE WENDEN! -
2
2
h(∆Â) ih(∆B̂) i ≥
1
4
2
|h[Â, B̂]i| .