¨Ubungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK
Prof. Dr. Gerd Wittstock
Dipl.-Math. Michael Didas
Übungen zur Vorlesung
Operatoren auf dem Hilbertraum
e
(Wintersemester 2002/2003)
Blatt 7
Abgabetermin: Montag, 16.12.2002, vor der Vorlesung
Aufgabe 24 (Gramsche Matrix)
Seien H und K Hilberträume.
(a) Ist T ∈ L(H, K) ein endlichrangiger Operator, d.h. rank T = dim ran T < ∞, so gilt die
Übereinstimmung
rank T = rank T ∗ = rank T ∗ T = rank T T ∗ .
(Hinweis: Benutzen Sie die Formeln für Kern und Bild des Operators und seiner Adjungierten.)
(b) Für eine beliebige endliche Familie von Vektoren x1 , · · · , xn aus H erfüllt der Rang der
zugehörigen Gramschen Matrix G = (hxi , xj i)1≤i,j≤n die Identität:
rank G = dim span{x1 , · · · , xn }.
Pn
(Anleitung: Betrachten Sie den Operator T : `2 (n) → H, (ξ1 , · · · , ξn ) 7→ j=1 ξj xj . Überlegen Sie sich, dass G die Matrix der Abbildung T ∗ T bzgl. der Standardbasis von `2 (n) ist.
Wenden Sie nun Teil (a) an.)
Aufgabe 25 (Orthogonalprojektionen)
Für einen abgeschlossenen Teilraum M des Hilbertraumes H bezeichne PM ∈ B(H) die Orthogonalprojektion von H auf M .
Seien P = PM und Q = PN zwei Orthogonalprojektionen. Zeigen Sie:
(a) Die Komposition P Q ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn P Q = QP ist. In
diesem Fall gilt: P Q = PM ∩N .
(b) Die Summe P + Q ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn P Q = 0 ist. In diesem
Fall ist M ⊥N und P + Q = PM ⊕N .
(c) Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) Die Differenz P − Q ist eine Orthogonalprojektion.
(ii) Es ist Q ≤ P .
(iii) Es besteht die Inklusion N ⊂ M .
(iv) Es gilt die Identität P Q = Q.
(v) Es ist QP = Q.
In diesem Fall ist P − Q = PM N , wobei M N = N ⊥ ∩ M das orthogonale Komplement
von N in M bezeichnet.
Aufgabe 26 (monotone und beschränkte Folgen positiver Operatoren)
Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge positiver reeller Zahlen konvergiert.
Für positive Operatoren auf einem Hilbertraum H gilt eine analoge Aussage.
(a) Zeigen Sie: Ist T ∈ B(H) positiv, so gilt für alle x, y ∈ H die Abschätzung
|hT x, yi|2 ≤ hT x, xihT y, yi.
(b) Sei (Tn )n≥1 eine monoton wachsende Folge positiver Operatoren in B(H), die nach oben
durch einen positiven Operator A ∈ B(H) beschränkt sei, d.h.
0 ≤ Tn ≤ Tn+1 ≤ A
(n ≥ 1).
Zeigen Sie nacheinander:
(i) Für alle x, y ∈ H existiert limn→∞ hTn x, yi ∈ C.
(ii) Es gilt kTn k ≤ kAk (n ∈ N).
(iii) Die Folge (Tn x)n≥1 ist für jedes x ∈ H eine Cauchy-Folge.
(iv) Es existiert ein positiver Operator T ∈ B(H) mit limn→∞ Tn x = T x für alle x ∈ H.