Quantenmechanik I SS 2008 (Hausübung 6) (abzugeben am

Quantenmechanik I
SS 2008 (Hausübung 6)
(abzugeben am Dienstag, den 20.05.2008)
1. Basistransformation ( 3 Punkte)
Durch {|a1 i , |a2 i} sei in einem zweidimensionalen komplexen Hilbertraum eine
orthonormierte Basis gegeben (Basis der {a} Darstellung). Zeigen Sie, dass die
Vektoren |b1 i =
√1
2
(|a1 i + i |a2 i) und |b2 i =
√1
2
(|a1 i − i |a2 i) auch eine orthonor-
mierte Basis bilden (Basis der {b} Darstellung). Welche Matrix ist dem unitären
Operator U , der den Basiswechsel vermittelt (Übergang von der {a}-Darstellung
zur {b}-Darstellung), in der {a}-Darstellung zugeordnet?
2. Doppelmuldenpotential (insg. 7 Punkte)
Anomale Tieftemperatureigenschaften von Gläsern sowie Eigenschaften von
amorphen und teilkristallinen Polymeren können durch Doppelmuldenkonfigurationen in der potentiellen Energie beschreiben werden. Die Anomalien stehen
dabei im Zusammenhang mit dem Einfluss des Tunneleffektes auf das Energiespektrum. Eine vereinfachte Version einer Doppelmulde ist durch das folgende
Potential gegeben:



 bδ(x) für
V (x) =



(a) (1 Punkt)
G (x)
V=f
|x| ≤ a
mit b ∈ R
∞
für
|x| > a
-a
0
a
Betrachten Sie den Ausdruck
¸
Zε · 2
~ 00
lim
Ψ (x) + (E − V (x))Ψ(x) dx
ε→0
2m
−ε
und führen Sie den Grenzübergang unter der Annahme durch, dass Ψ(x) in
x = 0 stetig ist. Welche Bedingung erhalten Sie dadurch an Ψ0 (x) für x = 0?
(b) (4 Punkte)
Bestimmen Sie die möglichen Energieeigenwerte und deren Eigenfunktionen.
(c) (2 Punkte)
Berechnen Sie den Energieunterschied zwischen dem niedrigsten Eigenzustand gerader (Ψ(x) = Ψ(−x)) und dem ungerader Parität (Ψ(x) =
−Ψ(−x)). Diskutieren Sie den Limes großer b.
3. Commutators and beyond (insg. 8 Punkte)
(a) Operatorabbildungen (2 Punkte)
Zeigen Sie für lineare Operatoren A, B, C und λ ∈ C, dass
i. [A, λB] = λ[A, B]
ii. [A, B + C] = [A, B] + [A, C]
iii. [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]
gilt. Fassen Sie nun dAl (F ) := [A, F ] bzw. dBr (F ) := [F, B] als Abbildung auf
dem Raum der Operatoren auf. Zeigen Sie, dass diese Abbildung linear ist
und der Leibniz-Regel (Produktregel) genügt.
(b) Jacobi-Identität (1 Punkt)
Zeigen Sie die Jacobi-Identität
[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0
(c) Andere Identitäten (4 Punkte)
Sei [A, B] ∈ C. Für f (B) ein Polynom n-ten Grades in B (also f (B) =
Pn
k
k=0 ck B , mit ck ∈ C) berechnen Sie
i. [A, f (B)] = · · · f (B)
ii. eA+B = eA eB · · ·
(Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass
eA eB =
1
eA+B+ 2 [A,B] gilt. Ver-
wenden Sie dazu die Funktion f (λ) = eλA eλB e−λ(A+B) . Zeigen Sie,
dass
d
dλ
f (λ) = λ[A, B]f (λ) ist und integrieren Sie diese Differential-
gleichung.)
∂
Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse für A = −i~ ∂x
und B = x.
(d) Hermitesche Operatoren (1 Punkt)
Sei Ĥ der Hamilton-Operator eines freien Teilchens. Zeigen Sie, dass es eine orthonormale Basis gibt, in welcher Ĥ und p̂ gleichzeitig diagonal sind.
Bestimmen Sie eine solche Basis.