Blatt4

Übungen zur Quantenmechanik II
Theoretische Physik V im WS 2005/2006 — Dr. M. Kastner
Blatt 4
Abgabe: 18. November
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 12: Ein Beweis des Bell-Kochen-Specker Theorems für acht Dimensionen
Wir betrachten einen Hilbertraum H mit dim{H} = 8. Wie aus der Vorlesung bekannt, kann dieser als
ein Quantensystem, hier bestehend aus 3 unterscheidbaren Spins mit Spinquantenzahl 1/2 aufgefasst
werden, d.h. H := C2 ⊗ C2 ⊗ C2 . Man definiert wieder σ (1) := σ ⊗ 1 ⊗ 1, σ (2) := 1 ⊗ σ ⊗ 1 und
σ (3) := 1 ⊗ 1 ⊗ σ, wobei σ der bekannte Pauli-Operator eines Spins ist.
(1)
(2)
A2
A1
(3)
(1)
Man betrachte nun die 10 skalaren Operatoren X1 := σ1 , X2 := σ1 , X3 := σ1 , Y1 := σ2 , Y2 :=
(2)
(3)
(1) (2) (3)
(1) (2) (3)
(1) (2) (3)
(1) (2) (3)
σ2 , Y3 := σ2 , A1 := σ1 σ2 σ2 , A2 := σ2 σ1 σ2 , A3 := σ2 σ2 σ1 und X := σ1 σ1 σ1 ,
welche sich graphisch in sinnvoller Weise wie folgt anordnen lassen:
Y1
A3
X
Y3
X3
X1
Man zeige:
X2
Y2
(a) Auf jeder der 5 Geraden stehen paarweise kommutierende Operatoren.
(b) Das Produkt XA3 A2 A1 der 4 Operatoren auf der horizontalen Geraden ist −1 ⊗ 1 ⊗ 1, während
das Produkt der jeweiligen 4 Operatoren auf den anderen 4 Geraden 1 ⊗ 1 ⊗ 1 ist.
(c) Ähnlich wie in der Vorlesung schließe man daraus auf einen Widerspruch zur funktionalen Konsistenz einer der Quantentheorie zugrundeliegenden hypothetischen Theorie verborgener Variablen.
Aufgabe 13: Operatornorm
Ein Operator A auf einem Hilbertraum H heißt beschränkt, wenn seine Operatornorm
kA|Ψik
|Ψi∈H k|Ψik
kAk := sup
p
endlich ist, wobei k|Ψik := hΨ|Ψi. Zeigen Sie, dass für beschränkte Operatoren A und B, z ∈
sowie für |φi, |Ψi ∈ H mit k|φik = k|Ψik = 1 gilt:
(a) Homogenität: kzAk = |z| kAk,
(b) Dreiecksungleichung: kA + Bk ≤ kAk + kBk,
(c) kABk ≤ kAk kBk,
(d) |hφ|A† A|Ψi| ≤ kAk2 und |hφ|A|Ψi| ≤ kAk.
C,
Aufgabe 14: Korrelationsungleichungen und verborgene Variablen
Gewisse Korrelationsungleichungen sind geeignet, die Möglichkeit einer Theorie verborgener Variablen
experimentell auszuschließen. Im folgenden sollen solche Ungleichungen hergeleitet und mit experimentellen Ergebnissen verglichen werden.
Dazu betrachtet man auf dem Hilbertraum H die selbstadjungierten Operatoren A1 , A2 , B1 , B2 mit
den Eigenschaften A2j = Bj2 = 1 und [Aj , Bk ] = 0 für j, k ∈ {1, 2}, welchen der Operator C :=
A1 B1 + A1 B2 + A2 B1 − A2 B2 zugeordnet wird.
(a) Zeigen Sie zunächst C 2 = 4 · 1 + [A1 , A2 ] [B2 , B1 ].
(b) Beweisen Sie die Ungleichung | hCi |2 ≤ kC 2 k und folgern Sie daraus die Cirel’son-Ungleichung
√
| hCi | ≤ 2 2.
Hinweis: Aufgabe 13d.
Lokale verborgene Variablen Theorien
zeichnen sich dadurch
aus, dass sie folgende Äquivalenz zur
R
R
Quantenmechanik fordern: hAi = dλ ρ(λ)α(λ), wobei dλρ(λ) = 1 und α nur Eigenwerte von A
annehmen soll.
(c) Zeigen Sie, dass im Rahmen einer Theorie mit lokalen verborgenen Variablen die Clauser-HorneShimony-Holt-Ungleichung
| hCi | ≤ 2
gilt.
Die in hCi enthaltenen Korrelationen hAj Bk i können für geeignete Systeme gemessen werden.
(d) Experimentell können Spin-Spin-Korrelationen von korrelierten, aber räumlich mit (> 10km)
getrennten Photonenpaaren bestimmt werden [W. Tittel et al., PRL 81, 3563 (1998)]. Was
bedeutet das Ergebnis | hCi | ≈ 2, 92 ± 0.18 für die Theorie verborgener Variablen?