Blatt 5

11. November 2015
T2 - Quantenmechanik I
WS 15/16 - Prof. Scrinzi
Übungsblatt 5
5.1: (T) Skalarprodukt
Verwende die definierenden Eigenschaften des Skalarprodukts auf dem Hilbertraum H um zu
zeigen, dass
hΦ|Ψi = hΨ|Φi∗
(1)
für beliebige Φ, Ψ ∈ H.
5.2: (T) Projektoren und Bra-Ket Notation
b 2 = Π,
b Π
b† = Π
b stellen Messungen in der QM dar. Sie sind außerdem
Motivation: Projektoren Π
von großem rechentechnischem Nutzen.
(a) Im R3 hat der Projektor auf eine Achse mit dem Einheitsvektor ~n die Form
b ~n = ~n~nT .
Π
(2)
Weiterhin ist der Projektor auf eine Ebene A, die von 2 orthonormalen Vektoren ~n1 und
~n2 aufgespannt wird, gegeben durch
b A = ~n1~nT1 + ~n2~nT .
Π
2
(3)
Zeige, dass dies Eigenschaften eines Projektionsoperators erfüllt sind und bestimme wie
diese Projektoren auf einen beliebigen Vektor ~v ∈ R3 wirken.
b mit nicht-entartetem
(b) Im Fall der Spektraldarstellung eines hermitischen Operators A
b sind die Operatoren
Spektrum σ(A)
Z
X
b
b
ΠI =
da |aiha|, I ⊆ σ(A)
(4)
I
Projektoren. Zeige das!
(c) Betrachte die Verallgemeinerung zum entarteten Fall
Z
Z
X
X
b
ΠI =
da
dλ |a, λiha, λ|,
I
b
I ⊆ σ(A)
(5)
Λ
und zeige die Projektoreigenschaft. Welche Bedingung muss ha, λ|a0 , λ0 i erfüllen?
(d) Die konkrete Realisierung von |Ψi ist eine Funktion ΨAb(a) mit Argumenten aus dem
b und mit Werten Ψ b(a) = ha|Ψi. Die Transformation in eine andere
Spektrum a ∈ σ(A)
A
Darstellung ΨBb (b) = hb|Ψi hat die Form
Z
X
ΨBb (b) =
da U (b, a)Ψ(a)
(6)
b
σ(A)
Benutze die Zerlegung der Einheit (in Bra-Ket Notation) um U (b, a) durch |ai und |bi
auszudrücken.
1
b = X,
b B
b = Pb) zu
(e) Benutze die obige Argumentation um hp|xi für Ort und Impuls (d.h. A
bestimmen.
5.3: (Z) Hermitesche Operatoren
Motivation: In der Vorlesung wurde viel über hermitesche und unitäre Operatoren gesprochen. Auch normale Operatoren wurden eingeführt. Hier betrachten wir Eigenschaften von
hermiteschen Operatoren. (Es sei darauf hingewiesen, dass die hier auch implizierten unendlich
dimensionalen Fälle die Dinge eigentlich noch etwas verkomplizieren, wir das aber ausblenden.)
b
(a) Zeige, dass auf Cn die Definition des hermitesch konjugierten Operators (hψ|Aφi
=
†
†
∗T
b
b
b
hA ψ|φi) impliziert, dass A = A .
(b) Zeige, dass Ortsoperator und Impulsoperator hermitesch auf L2 (R) sind. Es gilt
(c) Zeige, dass h∂x2 i < 0 auf L2 (R).
(d) Zeige, dass Eigenvektoren φn , die zu unterschiedlichen Eigenwerten an 6= am eines hermib n |φm i − hφn |Aφ
b m i.)
teschen Operators gehören, orthogonal sein müssen. (Betrachte hAφ
(e) Impliziert die Orthogonalität von zwei Eigenvektoren, dass die zugehörigen Eigenwerte
unterschiedlich sein müssen?
(f ) Zeige, dass das Spektrum eines hermiteschen Operators reell sein muss.
Dies lässt sich direkt aus der Definition der hermitischen Konjugation zeigen, oder über
die entsprechende Spektraldarstellung.
(g) Benutze dieselbe Überlegung, um zu beweisen, dass ein nicht-normaler Operator keine
Spektraldarstellung haben kann.
5.4: (Z) Leiteroperatoren
Motivation: Ein typisches Beispiel für nicht-normale Operatoren sind sogenannte “Leiteroperatoren”. Sie haben die grundsätzliche Struktur wie in diesem Übungsbeispiel. Sie werden nicht
nur in dieser Vorlesung noch auftauchen (harmonischer Oszillator, Drehimpuls), sie spielen auch
in vielen anderen Bereichen der Physik (Festkörperphysik, Quantenfeldtheorien) eine entscheidende Rolle. Sie werden auch oft “Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren” genannt.
Es sei (b
a)ij = δi+1,j , i, j ∈ N der ”Vernichtungsoperator” (b
a† der ”Erzeugungsoperator”) auf
2
dem
l (Menge der quadratsummierbaren Folgen mit dem Skalarprodukt ha|bi =
P Hilbertraum
∗
i∈N ai bi ).
(a) Wie wirken b
a und b
a† auf die Einheitsvektoren ~ek ? Warum können sie nicht kommutieren?
(b) Berechne b
ab
a† und b
a† b
a explizit. Weise auf den Unterschied hin.
(c) Berechne alle Eigenvektoren von b
a† für den Fall i, j ∈ {0, 1}. Mach Dir klar, dass die
Matrix nicht diagonalisierbar ist.
2
5.5: (T) Kommutierende Operatoren haben gemeinsame Diagonalisierung
Motivation: Während wir nicht gleichzeitig den genauen Ort und Impuls eines Elektrons wissen
können, so kann man Ort und potentielle Energie durchaus gleichzeitig kennen (die Messung
der einen Größe verändert den Wert der anderen Größe nicht zwangsweise), ebenso für z.B.
kinetische Energie und Impuls, und im Allgemeinen für alle Messgrößen, deren Operatoren
kommutieren.
Mathematisch bedeutet das, dass es eine Darstellung gibt, in der beide Operatoren simple
Multiplikationsoperatoren sind (also gleichzeitig diagonalisierbar sind).
(a) Zeige, dass zwei gleichzeitig diagonalisierbare Operatoren kommutieren. Schlussfolgere,
dass zwei nicht kommutierende aber diagonalisierbare Operatoren nicht gleichzeitig diagonalisiert werden können.
Es gilt auch die Umkehrung: Zwei kommutierende Operatoren können gleichzeitig diagonalisiert
werden. Hier soll das für den endlich-dimensionalen Fall gezeigt werden. (In Aufgabe 3.3 haben
wir eine solche gemeinsame Diagonalisierung für zwei konkrete Matrizen schon einmal explizit
b und B
b zwei diagonalisierbare Matrizen.
durchgeführt.) Es seien also A
b auch ein Eigen(b) Zeige, dass ein Eigenvektor zu einem nicht-entarteten Eigenwert von A
b ist.
vektor von B
(c) Verallgemeinere auf den Fall, bei dem der Eigenwert n-fach entartet ist.
(d) Schlussfolgere, dass für kommutierende Matrizen eine gemeinsame Eigenbasis gefunden
werden kann.
5.6: (T) Unendlich tiefer Potentialtopf
Motivation: Dies ist eines der elementaren Systeme, die man in der Quantenmechanik betrachtet. Anhand dieses einfachen Systems entwickeln sich Intuition für Form und Verhalten von
Ortswellenfunktionen. Interessant ist
( auch das Energiespektrum.
0 für − a < x < a
Gegeben sei das Potential V (x) =
mit a > 0. Der dazugehörige Opera∞ sonst
tor ist V̂ : H → H, V̂ ψ (x) = V (x)ψ(x).
(a) Bestimme die Eigenvektoren (auch Eigenzustände genannt) |φn i und Eigenwerte En des
p̂2
+ V̂ . Bestimme dafür den korrekten Hilbertraum und arguHamiltonoperators Ĥ = 2m
mentiere weshalb φn (x → ±a) = 0.
(b) Gibt es ein kontinuierliches Spektrum? Kann man einen beliebigen Zustand |ψi als Superposition der Eigenzustände darstellen, und ist diese Darstellung eindeutig? Skizziere
das Spektrum.
(c) Das Potential ist reflexionssymmetrisch: V (x) = V (−x). Teilen die Eigenzustände diese
Eigenschaft? Sind die Wahrscheinlichkeitsdichten reflexionssymmetrisch?
(d) Berechne die Zeitentwicklung des n-ten Eigenzustands.
3
(e) Gegeben eine Superposition der beiden niedrigsten Eigenzustände |ψi = α|φ1 i + β|φ2 i,
α, β ∈ C, |α|2 + |β|2 = 1, berechne hx̂iψ (t). Skizziere hx̂iψ (t) für α = β = 2−1/2 und für
α = 3−1/2 , β = (2/3)−1/2 .
(f ) Diese Energien sind kommensurabel, d.h. sie stehen in rationalen Verhältnissen zueinander. Zeige, dass für eine beliebige zum Zeitpunkt t = t0 gegebene Wellenfunktion ψ(t0 )
gilt: Nach der Periode T ist die Wellenfunktion wieder die gleiche, also ψ(t0 + T ) = ψ(t0 ).
Bestimme T .
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