Übung 4

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Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Hausaufgabe 4
04. Mai 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16/
–Hausaufgabe–
Bis 12:00Uhr, 11. Mai 2016
Die 12-15 Uhr Übungsgruppe findet am 06.05.16 im Besprechungsraum des BCTP
statt (II. Etage im PI.)
H 4.1 Unschärferelation - Operatoren
1+2+2+1+1+1+1 = 9 Punkte
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass die Heisenbergsche Unschärferelation ganz allgemein
aus der positiven Definitheit des Skalarproduktes und der Hermitezität zweier Operatoren folgt.
(a) Ähnlich wie in Aufgabe H3.3 soll hier die Unschärferelation zweier Operatoren bestimmt werden. Es sei ψ(r , t) die normierte Wellenfunktion, d.h.
Z
3
ψ ∗ (r , t)ψ(r , t) d r = 1.
(1)
R3
Seien Â, B̂ zwei hermitesche Operatoren, das heisst, † =  und B̂ † = B̂. Sei [Â, B̂] = iĈ 6= 0
die Kommutationsrelation von  und B̂. Zeige, dass Ĉ † = Ĉ ist.
(b) Die Schwankung eines Operators  ist gegeben durch ∆ =  − hÂi. Zeige, dass
[∆Â, ∆B̂] = iĈ.
(2)
(c) Sei Ô := (α∆ + i∆B̂) und h(∆Â)2 i und h(∆B̂)2 i die Schwankungsquadrate des Mittelwertes
von  bzw. B̂. Des Weiteren sei
Z
3
0 ≤ I(α) =
|Ôψ(r , t)|2 d r,
(3)
R3
das Skalarprodukt hÔψ, Ôψi. Zeige, dass Ausmultiplizieren
I(α) = α2 h(∆Â)2 i − αhĈi + h(∆B̂)2 i
(4)
ergibt.
(d) Zeige, dass Gl.(4) umgeschrieben werden kann zu
2
2
I(α) = h(∆Â) i α − α
hĈi
h(∆Â)2 i
+
hĈi2
4h(∆Â)2 i2
!
−
hĈi2
4h(∆Â)2 i
+ h(∆B̂)2 i.
(5)
(e) Zeige, dass der Ausdruck in der Klammer 0 ist für
α=
hĈi
2h(∆Â)2 i
1
.
(6)
(f) Benutze Gl.(6) und zeige, dass daraus für I(α) die Heisenbergsche Unschärferelation
h(∆Â)2 ih(∆B̂)2 i ≥
|h[Â, B̂]i|2
,
4
(7)
folgt. Was ist das Ergebnis für kommutierende  und B̂?
(g) Zeige, dass aus (∆p)2 (∆x)2 ≥
~2
4
auch die Energie-Zeit-Unschärfe gefolgert werden kann.
Hinweis: Benutze, dass die Energieunschärfe ∆E geschrieben werden kann als ∆E = F ∆x, wobei F
eine Kraft ist.
H 4.2 Kommutatoren
Im folgenden sollen Kommutatoreigenschaften betrachtet werden.
3+2+2+2+2 = 11 Punkte
(a) Beliebige Operatoren
Seien Â, B̂ zwei beliebige Operatoren, für die [Ĉ, Â] = 0 = [Ĉ, B̂] gilt, wobei [Â, B̂] = Ĉ ist.
Zeige mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
[Â, B̂ n ] = [Â, B̂]nB̂ n−1 .
(8)
(b) Spezielle Operatoren
(i) Zeige, dass für den Kommutator des Impulsoperators p̂x für die x-Komponente und des
Ortsoperators x̂ folgendes gilt,
[p̂x , x̂] = −i~
(9)
Zeige zudem, dass [p̂y , x̂] = 0 und [p̂x , p̂y ] = 0 ist. Was bedeuten die beiden Ergebnisse
physikalisch?
(ii) Wie ist der Drehimpuls definiert? Zeige, dass der Drehimpulsoperator in drei Dimensionen gegeben ist durch
 
 ∂
∂ 
y ∂z − z ∂y
L̂x
∂
∂ 
.
L̂ = L̂y  = −i~ z ∂x
− x ∂z
∂
∂
x ∂y − y ∂x
L̂z
(10)
(iii) Zeige die folgenden Kommutationsrelationen.
[L̂i , L̂j ] = ijk i~L̂k ,
(11)
wobei (i, j, k) für beliebige Raumkoordinaten steht und ijk der total antisymmetrische
Tensor ist,

 +1, falls (i, j, k) eine gerade Permutation ist
−1, falls (i, j, k) eine ungerade Permutation ist
ijk =
(12)

0, sonst
Vergleiche die Ergebnisse mit den Kommutatoren, die in Aufgabe H4.2(b)(i) berechnet
wurden. Was fällt dir auf?
(iv) Zeige, dass
[|L̂|2 , L̂z ] = 0.
Was impliziert das?
2
(13)
H 4.3 Adjungierte Operatoren
1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 10 Punkte
(a) Im Folgenden sollen v, w ∈ Cn komplexe Vektoren und  ∈ Cn×n eine komplexe Matrix sein.
Das Skalarprodukt auf Cn ist definiert als hv, wi = (v∗ )T · w. Der zu  adjungierte Operator
A† erfüllt die Bedingung
D
E D
E
v, Âw = † v, w
(14)
für alle v, w.
(i) Zeige, dass für eine komplexe Matrix  gilt,
T
† = Â∗
.
(ii) Sei

a11
 = a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23  .
a33
(15)
Welche Bedingungen müssen die Matrixeinträge aij ∈ C erfüllen, damit die Matrix hermitesch ist d.h.  = † ?
(b) Nun betrachten wir wieder Funktionenvektorräume und deren Skalarprodukte. Wir nehmen
nun das typische Skalarprodukt
Z ∞
hf, gi =
f ∗ (x) · g(x) dx
(16)
−∞
an. Auch auf diesen Vektorräumen kann man adjungierte Operatoren wie in (14) definieren.
Wir nehmen außerdem an, dass die Funktionen allesamt quadratisch integrierbar sind, somit
also für x → ∞ schnell genug gegen 0 fallen und dieses Verhalten auch für deren (mehrfachen)
∂ †
∂
adjungierten Operator d.h. finde den Operator ∂x
,
Ableitungen gilt. Bestimme den zu ∂x
für den gilt
+
* †
∂
∂
f,
g =
f, g .
(17)
∂x
∂x
(c) Das Skalarprodukt für komplexwertige Funktionen f, g mit vektorwertigen Funktionsargumenten, die den selben Bedingungen wie in H4.3(b) unterliegen, habe analog die Form
Z
3
hf, gi =
f ∗ (r) · g(r) d r .
(18)
R3
(i) Bestimme nun auch den Operator p̂† für den Impulsoperator p̂ = −i~∇r . Hinweis: Das
Integral einer vektorwertigen Funktion ist komponentenweise definiert. So ist z.B.
R
Z ψ1
ψ1 d 3 r
d3 r = RR3
.
3
R3 ψ2
R3 ψ2 d r
2
~
∆ + V mit reelwertigem
(ii) Bestimme nun auch Ĥ † für den Hamiltonoperator Ĥ = − 2m
Potential V .
P
(iii) Bestimme L̂† für den Drehimpulsoperator L̂ = ijk ijk ei r̂j p̂k mit dem total antisymmetrischen Tensor ijk und den Standardeinheitsvektoren ei aus dem R3 . Was fällt dir
auf?
3
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