Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische Mechanik

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Hausaufgabe 3
27. April 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16/
–Hausaufgabe–
Bis 12:00Uhr, 04. Mai 2016
Zusatzmaterial mit außführlicher Erklärung zu Operatoren ist auf der Webseite verfügbar.
H 3.1 Wellen
2+1+3+4+5 = 15 Punkte
(a) Wellenpaket
(i) In Übung 1 wurde die eindimensionale, elektromagnetische Wellengleichung eingeführt.
In drei Dimensionen lautet sie
2
∂
∂2
∂2
1 ∂2
+
+
ψ(r
,
t)
=
ψ(r , t).
(1)
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
Die allgemeine Lösung von Gl. (1) ist gegeben durch
Z ∞
3
ψ(r , t) =
ψ̃(k )ei(wt−k r ) d k,
(2)
−∞
wobei ψ̃(k ) die Fouriertransformierte [FT] von ψ(r , t) ist und die Amplitudenverteilung
festlegt. ψ(r , t) ist eine Überlagerung verschiedener Wellen mit Wellenzahl k und der
dazugehörigen Amplitude ψ̃(k ). So wie ψ(r , t) die räumliche Verteilung des Wellenpakets
angibt, gibt ψ̃(k ) die Wellenzahl-Verteilung des Pakets an.
Zeige, dass Gl.(2) die Wellengleichung löst. Welche Bedingung an w folgt daraus?
(ii) Bestimme
∂
2
∂t |ψ(r , t)|
mit Hilfe von Gl. (2). Interpretiere das Ergebnis.
(b) Noch mehr Gauß
(i) Es soll nun wieder der eindimensionale Fall betrachtet werden. Ein Gaußsches Wellenpaket sei definiert als
ψ(x) :=
(x−µ)2
1
(2π(∆x)2 )
1
4
e
− 4(∆x)2
,
(3)
wobei (∆x)2 die Ortsunschärfe und µ der Mittelwert ist. Für die FT von Gl. (3) mit
Impuls p = ~k gilt
ψ̃(p) =
2(∆x)2
π~2
14
2 2
1
e− ~2 (ip~µ+(∆x)
p )
.
(4)
Die FT eines Gaußschen Wellenpakets ist demnach wieder ein Gausches Wellenpaket.
Zeige, dass für µ = 0 die Unschärferelation
(∆x)2 (∆p)2 =
~2
,
4
(5)
gilt. Hinweis:
Starte mit (∆p)2 = hp2 i−hpi2 . Der Erwartungswert hpn i, n ∈ N ist gegeben durch
R
hpn i =
∞
−∞
ψ̃ ∗ (p)pn ψ̃(p).
1
(c) Orthogonalität
Im Folgenden betrachten wir eine Superposition ebener Wellen im Impulsraum,
Z
pr −Et
1
3
ψ̃(p, t) =
d rψ(r )ei ~
3
(2π~) 2 R3
(6)
(i) Zeige, dass der Impulsoperator p̂ im Ortsraum durch −i~∇r gegeben ist.
(ii) Es soll die Orthogonalitätsbeziehung
Z
3
ψp 0 (r , t)ψp∗ (r , t) d r = δ (3) (p − p 0 ),
(7)
R3
gezeigt werden. Zur Vereinfachung nehmen wir im Folgenden
ψp (r , t) =
1
(2π~)
3
2
pr −Et
~
ei
.
(8)
Für eine Delta-Distribution gilt
Z
3
δ (3) (p − p 0 )f (p 0 ) d p0 = f (p).
(9)
R3
Zeige, dass Gl.(9) unter Verwendung von Gl.(7) erfüllt ist. Nutze hierfür
Z
0
ei(px −px )x dx = lim
→0
R
Z
1
0
ei(px −px )x dx,
(10)
− 1
und zeige, dass,
Z
1
lim
→0
ist. Hinweis:
R∞
−∞
sin(p0 )
dp0
p0
p0 −p
0
ei(px −px )x dx = lim 2
→0
− 1
sin( x x )
,
p0x − px
(11)
= π.
H 3.2 Fourierreihen und Integration
1+2+3+2+1+1 = 10 Punkte
(a) Es gilt das Integral aus dem Planck-Strahlungsgesetz zu bestimmen, dessen Ergebnis schon
auf dem 1. Übungsblatt verwendet worden ist.
(i) Zeige mittels der geometrischen Reihe
Z
0
∞
x3
dx =
ex − 1
P∞
n=0
Z
0
qn =
∞
x3
1
1−q
∞
X
, dass
!
e−(n+1)x
dx
(12)
n=0
Hinweis: Die geometrische Reihe darf nur angewendet werden, wenn |q| < 1 ist. Schreibe daher
1
e−x
um in 1−e
−x .
ex −1
(ii) Zeige, dass gilt:
Z
0
∞
∞
X
x3
1
dx
=
6
ex − 1
(n
+
1)4
n=0
Hinweis: Partielle Integration
2
(13)
(b) Es gilt nun den Wert der Reihe zu bestimmen. Hierzu werden wir die Fourierreihendarstellung
von x2 nutzen.
Sei h·, ·i : L2R [−π, π] × L2R [−π, π] −→ R definiert durch
Z
1 π
f (x) · g(x) dx
(14)
hf, gi =
π −π
ein Skalarprodukt. Sei außerdem

+

cos(nx) , für n ∈ N
en (x) = sin(nx) , für − n ∈ N+

 √1
, für n = 0
2
(15)
die zugehörige Orthonormalbasis.
(i) Bestimme die sogenannte Fourierreihen-Darstellung des Polynoms x2 d.h. finde die Koeffizienten ak , für die gelten:
2
x = a0 e0 (x) +
∞
X
ak cos(k x)
(16)
k=1
Hinweis: Argumentiere, warum das Polynom x2 keine Sinus-Anteile besitzt.
Hinweis: Nutze zur Bestimmung der ak die Darstellung aus H2.4.a)i)
(ii) (Satz von Parseval)
Zeige, dass für die Norm von x2 gilt:
∞
X
2 2
2
x = x2 , x2 =
|ak |
(17)
k=0
(iii) Zeige, dass gilt
∞
X
1
π4
=
n4
90
i=1
(18)
Hinweis: Berechne hierzu die linke und rechte Seite aus (b (ii)) separat.
(c) Nutze nun die Teilergebnisse, um
Z
0
∞
x3
dx
−1
(19)
ex
zu bestimmen.
H 3.3 Unschärferelation
2+2+1 = 5 Punkte
(a) Mit Hilfe des Skalarproduktes definiert man eine Norm durch
p
kf k := hf, f i.
Für Skalarprodukte kann die Cauchy-Schwarz-Ungleichung gezeigt werden
|hf, gi| ≤ kf k kgk .
(20)
Für die Aufgabe soll nun angenommen werden, dass C, D zwei symmetrische Operatoren
auf einem Vektorraum V sind d.h. für alle f, g ∈ V gilt
3
hf, Cgi = hCf, gi und hf, Dgi = hDf, gi.
Sei außerdem der Kommutator der beiden Operatoren
[C, D] = CD − DC .
Wie bei der Multiplikation mit Matrizen wird bei der Schreibweise „CD“ zuerst der Operator
D auf ein Element, danach der Operator C angewendet. Sie werden also nacheinander ausgeführt. Analoges gilt für die Schreibweise „DC“.
Im Folgenden soll mit hAi der Mittelwert des Operators A mit der Funktion ψ gemeint sein.
Zusätzlich soll die Funktion ψ die Norm 1 haben d.h. kψk = 1 .
∗
(i) Zeige: h[C, D]i = hCψ, Dψi − (hCψ, Dψi)
(ii) Zeige, dass für eine komplexe Zahl z gilt: z − z ∗ = 2i · Imaginärteil(z) = 2i · Im(z)
und folgere mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, dass
2
2
2
|h[C, D]i| ≤ 4 kCψk kDψk .
(iii) Setze nun C := A − hAi = ∆A und D := B − hBi = ∆B für zwei symmetrische
Operatoren A und B. Zeige damit die Unschärferelation
2
1
2
2
(21)
k(∆A)ψk k(∆B)ψk ≥ h[A, B]i .
2
4