¨Ubungen zu Analysis für LAK (SS 2011) – Blatt 4 18

Übungen zu Analysis für LAK (SS 2011) – Blatt 4
18 [Dezimalbruchdarstellung von nichtnegativen reellen Zahlen]
a) Es sei z0 ∈ N∪{0} und (zj )j∈N eine beliebige Folge von Ziffern zwischen 0 und 9, d.h. zj ∈
{0, 1, 2, . . . , 9} für jedes j ∈ N. Wir betrachten die Folge (bn )n∈N der Dezimalentwicklungen
n
X zl
z1
z2
z3
zn
bn := z0 +
+ 2 + 3 + ... + n =
.
10 10
10
10
10l
l=0
Zeige folgende Aussagen: 1. bn ∈ Q für jedes n ∈ N,
2. ∀n ∈ N: bn < z0 + 1 [Hinweis: geometrische Summen],
3. ∃b = lim bn , wobei 0 ≤ b ≤ z0 + 1 gilt.
Wir schreiben auch b = z0 , z1 z2 z3 . . . für den Grenzwert der Folge (bn ). Welche Zahl erhalten
wir als Grenzwert b im Falle z0 = 0 und zj = 9 für alle j ≥ 1? (Hat dieser Grenzwert eine
eindeutige Dezimalentwicklung?)
√
√
b) Bekanntlich gilt 2 ∈ R \ Q und√0 < 2 < 10. Entwickle eine Intervallschachtelungsmethode mittels Zehnteilung, um 2 durch rationale Zahlen zu approximieren, die als
streng monoton wachsende Folge von Dezimalentwicklungen wie in a) entstehen. Gib die
Konstruktion der entsprechenden Werte von z0 und z1 explizit an.
19 Es sei (an ) eine reelle Folge. Zeige die Aussage:
(an ) ist konvergent ⇐⇒ (an ) ist beschränkt und besitzt genau einen Häufungswert.
Darf man die Bedingung der Beschränktheit im rechten Teil der Aussage weglassen? Stellen
Sie diese Aussage dem Auswahlsatz von Bolzano-Weierstraß gegenüber und versuchen Sie,
einige Unterschiede deutlich zu machen. (Letzteres ist natürlich eine offene“ Teilaufgabe.)
”
20 [Sie haben beliebige reelle Potenzen vielleicht im ersten Semester schon auf anderem Weg
behandelt. Hier ist ein Zugang skizziert, wie das elementar mittels rationaler Approximation von
reellen Zahlen und k-ter Wurzeln aufgebaut werden kann. (vgl. Punkt 1.8. der VO)]
Es sei a ∈ R mit a > 0 und a 6= 1. Für % ∈ R wollen wir a% ∈ R definieren.
a) Zunächst für rationale Potenzen:√Für r ∈ Q mit Bruchdarstellung r = p/q, wobei p ∈ Z
und q ∈ N gilt, setzen wir ar := ( q a)p = (a1/q )p . Der Wert von ar hängt nicht von der
Bruchdarstellung von r ab (d.h. Erweitern oder Kürzen von p/q ändert nichts – freiwillige
Zusatzübung).
Beweise eine der folgenden Rechenregeln: für a, b > 0 und r, s ∈ Q gilt stets
ar · as = ar+s ,
(ar )s = ars ,
ar · br = (ab)r .
Es sei r < s. Zeige wenigstens eine der folgenden Aussagen:
a>1
⇒
ar < as
und
0<a<1
⇒
ar > as .
Übungen zu Analysis für LAK (SS 2011) – Blatt 4
b) Zeige, dass es zu % ∈ R eine monoton wachsende Folge (rn ) mit rn ∈ Q für alle n ∈ N
und % = lim rn gibt.
[Hinweis: % = sup{r ∈ Q | r ≤ %} und % − 1/n ist keine Oberschranke.]
Zeige weiters, dass die Folge (arn ) konvergent ist. Wir setzen a% := lim arn .
[Hinweis: Fallunterscheidung a > 1, a < 1 und Eigenschaften aus a)].
c) Es sei (sn ) eine (nicht notwendig monotone) Folge rationaler Zahlen, die ebenfalls gegen
% konvergiert. Zeige asn → a% für n → ∞ in zwei Schritten:
1. reduziere das Problem zunächst auf den Spezialfall % = 0;
2. nun zeige, dass ayn → 0 (n → ∞) gilt, falls yn → 0.
[Hinweis: sei ε > 0 vorgegeben; wegen a1/m → 1 und a−1/m → 1 für m → ∞ liegt für großes m
sowohl a−1/m als auch a1/m in der ε-Umgebung von 1; wegen yn → 0 wiederum kann −1/m <
yn < 1/m für große n erreicht werden.]
21 Seien a und % wie in der vorigen Aufgabe. Wir definieren die Funktion fa : R → R
durch fa (x) := ax für jedes x ∈ R.
a) Zeige die folgende Funktionalgleichung:
fa (x) · fa (y) = fa (x + y) für alle x, y ∈ R.
b) Zeige: Falls a > 1 ist, dann ist die Funktion fa streng monoton wachsend.∗
[Hinweis: zu x < y und seien (xn ), (yn ) Folgen in Q mit xn → x, yn → y. Es gibt r, s ∈ Q mit
x < r < s < y. Für fast alle n ∈ N gilt dann xn < r < s < yn und diese Ungleichungskette
überträgt sich gemäß Aufgabe 20 a) auf die Funktionswerte unter fa .]
Durch die Beobachtung fa (x) = f1/a (−x) sieht man dann übrigens leicht, dass fa streng
monoton fallend ist, falls 0 < a < 1 gilt.
22 Wiederhole sorgfältig die Definition einer Cauchy-Folge. Dann betrachte die Folge
(an ), die rekursiv gegeben ist durch a1 = 1 und
an+1 =
an + 2
an + 1
(n ∈ N).
Zeige: a) ∀n ∈ N, n ≥ 2 gilt: an ≥ 1 und |an+1 − an | ≤
1
|an − an−1 |.
4
b) Sei m, n ∈ N mit m > n: beachte |am −an | ≤ |am −am−1 |+|am−1 −am−2 |+. . .+|an+1 −an |
und verwende a), um zunächst |ak −ak−1 | ≤ |a2 −a1 |/4k−2 = 8/4k für jedes k ≥ 2 abzuleiten
und dann auf die Ungleichung
8 1
|am − an | ≤ · n
3 4
zu schließen.
c) Schließe aus b), dass (an ) eine Cauchy-Folge ist. Was ist ihr Grenzwert?
∗
Die Ungleichung ax ≤ ay für x < y erhalten wir hier sehr einfach aus den Rechenregeln für Limiten. Die
analytische Kleinkunst“ ist hier das Erreichen der scharfen Ungleichung ax < ay für strenge Monotonie.
”