Brückenkurs Mathematik - Freie Universität Berlin

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Freie Universität Berlin
FB Mathematik und Informatik
Jürgen Schütz
4. Übung zum
Brückenkurs Mathematik
25. September bis 6. Oktober 2006
Aufgabe 1
Beweise die geometrische Summenformel: Für x 6= 1 und alle n ∈ N gilt
n
X
xi =
i=0
1 − xn+1
.
1−x
Aufgabe 2
Zeige, dass für alle n > 2
n
X
√
1
√ > n
i
i=1
gilt.
Aufgabe 3
Für welche n ∈ N gilt n2 < 2n ?
Aufgabe 4
Behauptung. Alle Menschen haben am gleichen Tag Geburtstag.
Beweis. Wir zeigen durch vollständige Induktion über n ∈ N, dass in einer Gruppe von
n Menschen alle am gleichen Tag Geburtstag haben.
Induktionsanfang: n = 1. In einer Gruppe, die aus einem Menschen besteht, haben
alle am gleichen Tag Geburtstag.
Induktionsschritt: Angenommen, in jeder Gruppe von n Menschen haben alle am gleichen Tag Geburtstag. Sei {x1 , . . . , xn+1 } eine Gruppe von n + 1 Menschen. Nach Induktionsvoraussetzung haben x2 , . . . , xn+1 am gleichen Tag Geburtstag. Es haben aber
auch x1 , . . . , xn am gleichen Tag Geburtstag. Also hat x1 am gleichen Tag Geburtstag wie x2 , . . . , xn+1 . Damit haben x1 , . . . , xn+1 am gleichen Tag Geburtstag und die
Behauptung ist für n + 1 bewiesen.
Offenbar ist diese Behauptung falsch. Wo liegt aber das Problem in diesem Beweis?
1
Aufgabe 5
In einer Tabelle mit drei Zeilen und n Spalten sind in beliebiger Weise n rote, n weiße
und n schwarze Spielmarken untergebracht. Zeige, dass man die Marken in jeder Zeile
so umordnen kann, dass in jeder Spalte drei Marken verschiedener Farbe liegen.
Aufgabe 6
Kreise jede zweite Zahl ein und schreibe darunter die kumulative Summe der Zahlen
ohne Kreis:
1
1
2j 3
4
4j 5
9
6j 7
16
8j 9 10m 11 12m 13 14m 15 16m
25
36
49
64
Was erhalten wir und warum?
Aufgabe 7
Man erzählt sich, dass in einem Ort einst der folgende strenge Brauch herrschte: Eine
Frau, die von der Untreue ihres Ehemannes erfuhr, erstach denselben noch in der gleichen
Nacht und warf seine Leiche in den durch die Ortschaft führenden Kanal.
In der Tat wusste jede Frau von allen Männern, außer vom eigenen Ehemann, ob sie
untreu waren oder nicht. Ferner waren alle Frauen des logischen Schließens durchaus
kundig.
Eines Tages gab die Bürgermeisterin folgendes bekannt: Es gibt mindestens einen
”
untreuen Ehemann!“
Man zeige: Angenommen, es gab n untreue Ehemänner (n ∈ N), so wurden diese in
der n-ten Nacht nach der Bekanntmachung der Bürgermeisterin erstochen und in den
Kanal geworfen.
2
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