Musterlösung zur Aufgabe 23 a)

Musterlösung zur Aufgabe 23 a)
von Sebastian Müller
Aufgabe:
Seien α und β reelle Zahlen, n ∈ N. Beweisen sie das sogenannte Additionstheorem der
Binomialkoeffizienten
! !
!
n
X
α
β
α+β
=
n−j
j
n
j=0
Hinweis:
Verwenden Sie die Gleichung (∗)
α
(α − n + j)
n−j
!
!
β
α
+ (β − j)
j
n−j
α
= (n + 1 − j)
n+1−j
!
!
!
β
α
+ (j + 1)
j
n−j
β
j
!
!
β
j+1
!
Herleitung:
α
(α − n + j)
n−j
!
= (α − n + j) ·
n−j
Y
1
(α + 1 − i)
(n − j)! i=1
n−j+1
Y
n+1−j
1
·
(α + 1 − i)
n + 1 − j (n − j)! i=1
=
α
= (n + 1 − j) ·
n+1−j
β
(β − j)
j
j
!
= (β − j) ·
1 Y
(β + a − i)
j! i=1
j+1
j+1 1 Y
·
(β + a − i)
j + 1 j! i=1
=
β
= (j + 1)
j+1
!
Lösung:
Die Lösung erfolgt über eine Induktion nach n:
IA: Sei n = 0:
0
X
j=0
α
−j
!
!
β
j
!
=
α
0
!
β
0
!
= 1
=
1
α+β
0
!
Sei n = 1:
1
X
j=0
α
1−j
!
β
j
!
α
1
=
!
!
β
α
+
0
0
!
β
1
!
= α+β
α+β
1
=
!
IV: Die Behauptung gelte für eine natürliche Zahl, also:
∃n∈N
n
X
j=0
α
n−j
!
β
j
!
α+β
n
=
!
IS: Falls die Aussage für n gilt, so gilt sie auch für n + 1:1
(n + 1)
n+1
X
j=0
α
n+1−j
!
β
j
!
=
=
=
=
=
=
(∗)
=
n+1
X
α
(n + 1)
n+1−j
j=0
⇒
j=0
!
β
j
n
X
α
(n + 1 − j)
n+1−j
j=0
!
n+1
X
α
β
j
+
n+1−j
j
j=1
n
X
!
n
X
α
β
(j + 1)
+
n−j
j
j=0
n
X
α
(n + 1 − j)
n+1−j
α
(n + 1 − j)
n+1−j
j=0
j=0
n
X
α
(α − n + j)
n−j
(α + β − n)
n
X
=
α+β
(n + 1)
n+1
α+β
n+1
!
!
!
β
j
!
β
j
!
!
!
!
β
α
+ (j + 1)
j
n−j
β
α
+ (β − j)
j
n−j
β
j
!
!
!
β
j
!
!
!
β
j+1
β
j+1
!!
!
!
!
!
!
Damit folgt die Behauptung.
1
α
n−j
!
=
!
!
n+1
X
α
β
j
+
n
+
1−j
j
j=0
(α + β − n) α + β
(n + 1)
(n + 1)
n
=
β
j
!
α
(n + 1 − j)
n
+
1−j
j=0
=
Def
!
n+1
X
α+β
(α + β − n)
n
IV
α
n+1−j
!
α
(n + 1 − j + j)
n+1−j
j=0
j=0
n+1
X
β
j
n+1
X
j=0
=
!
Der Vorfaktor (n + 1) ist nur dazu da, dass man innerhalb der Summen umformen kann. Man hätte auch
= 1 multiplizieren müssen. Dann hätte man vor der ganzen
ohne anfangen können und dann mit (n+1)
(n+1)
1
Rechnung ein (n+1)
stehen, was sich im letzten Schritt kürzen würde.
2
!
!!