Fehleranalyse der Lösung linearer Gleichungssysteme mit LR

Numerische Mathematik
Prof. Dr. Peter Benner
TU Chemnitz
SS09
Fehleranalyse der Lösung linearer
Gleichungssysteme mit LR-Zerlegung
• Fehleranalyse der LR-Zerlegung (Satz 3.21):
Sei γ(A) = A ∈ Rn×n und es seien während der numerischen Berechnung der
LR-Zerlegung in M(p, t, emin , emax ) mit Maschinengenauigkeit u alle Pivotelemente
(k−1)
âkk 6= 0, dann gilt
L̂ · R̂ = A + H,
|H| ≤ 3(n − 1)u(|A| + |L̂||R̂|) + O(u2 ).
Folgerung: Da |R̂| |A| möglich ist1 , ist die Berechnung der LR-Zerlegung mit
dem Gaußschen Eliminationsverfahren nicht numerisch rückwärts stabil.
• Gesamtfehleranalyse für LR-Zerlegung und Vorwärts-/Rückwärtseinsetzen (Satz 3.22):
Sei x̂ die durch LR-Zerlegung und Vorwärts-/Rückwärtseinsetzen unter den Voraussetzungen wie in Satz 3.21 berechnete Lösung von Ax = b. Dann gilt
(A + E)x̂ = b,
|E| ≤ nu(3|A| + 5|L̂||R̂|) + O(u2 ).
Damit folgt für den normweisen relativen Rückwärtsfehler
ηrel ≤
kEk∞
kR̂k∞
≤ 3nu + 5nukL̂k∞
+ O(u2 )
kAk∞
kAk∞
und für den relativen Vorwärtsfehler
kx − x̂k∞
kL̂k∞ kR̂k∞
≤4 3+5
kxk∞
kAk∞
!
nuκ∞ (A) + O(u2 ).
Folgerung: Da kR̂k∞ kAk∞ möglich ist1 , ist das Lösen linearer Gleichungssysteme mit LR Zerlegung bzw. Gaußschem Eliminationsverfahren nicht numerisch
rückwärts stabil.
1
Beachte: Ohne Pivotisierung ist auch |L̂| |A| und kL̂k∞ kAk∞ möglich!