Informatik A

1. Aufgabenblatt vom Montag, den 22. Oktober 2012 zur Vorlesung
Informatik A
(Frank Hoffmann)
Abgabe am Freitag, den 02. November 2012 bis 1200
1. Improvisieren (wird im 1. Tutorium besprochen)
Stellen Sie die Zahl 6 dar durch einen Ausdruck, der genau dreimal die Ziffer i enthält
und ansonsten neben Klammern nur die 4 Grundrechenarten, Quadratwurzeln und die
Fakultätsfunktion benutzen darf. Für i = 2 ist dies einfach, denn 6=2+2+2. Lösen Sie
diese Aufgabe für die anderen 0 ≤ i ≤ 9.
Hinweis: Diese Knobelaufgabe hat mehr mit Informatik zu tun, als man zuerst denkt.
Was kann man mit beschränkten syntaktischen Mitteln ausdrücken?
2. Darstellung ganzer Zahlen (wird im 1. Tutorium besprochen)
Unter der k–nären Darstellung (k ≥ 2) einer nichtnegativen ganzen Zahl z versteht man
den String cn cn−1 . . . c1 c0 , wobei alle ci ∈ {0, . . . , k − 1}, cn 6= 0 und
z = Σni=0 ci k i
Bei Hexadezimalzahlen (k = 16) benutzt man als zu Grunde liegendes Alphabet
{0, 1, . . . , 9, A, B, . . . , F }, wobei die Buchstaben die Dezimalzahlen von 10 bis 15 codieren.
(a) Schreiben Sie die folgenden Zahlen sowohl binär, dezimal und hexadezimal.
die Binärzahlen: 1001011, 11110000, 1010101
die Dezimalzahlen: 1026, 53789,
die Hexadezimalzahlen: 1000, FFF, 3A28E
(b) Wie lang ist die k–näre Darstellung einer ganzen positiven Zahl und wie verhält
sich diese Größe zur Länge der l–nären Darstellung?
3. Abwägen(wird im 1. Tutorium besprochen)
Vor Ihnen liegen 12 Rollen mit 1-Euro-Münzen, die Rollen sind durchnummeriert von 1
bis 12. Genau eine der Rollen enthält Falschgeld und hat deshalb ein anderes Gewicht.
Ihre Aufgabe ist es, mittels einer Balkenwaage festzustellen, welche der Rollen Falschgeld
enthält und ob diese leichter bzw. schwerer als eine normale Rolle ist. (Dass es EuroMünzen sind ist offensichtlich unwichtig!)
(a) Sie dürfen nur jeweils eine Rolle gegen eine andere vergleichen. Beschreiben Sie ein
Verfahren, das mit möglichst wenigen Vergleichen auskommt. Wie viele sind das
im schlechtesten Fall und warum geht es nicht besser?
(b) Sie dürfen mehrere Rollen gegeneinander wägen. Jetzt reichen 3 Vergleiche aus!
Beschreiben Sie ein solches Verfahren.
Tipp: Beginnen Sie mit vier Rollen auf jeder Seite. Der schwierige Fall tritt bei
Ungleichheit ein, Sie also noch acht Verdächtige haben.
(c) Argumentieren Sie, dass es kein Verfahren gibt, das immer mit zwei Vergleichen
auskommt.
4. Logik im Alltag (wird im 1. Tutorium besprochen)
A(lice), B(ob), C(arol) und D(ave) fahren mit dem Zug und haben Platzkarten für ein
Viererabteil, wobei die Plätze 1 und 2 (3 und 4) vorwärts (rückwärts) zur Fahrtrichtung
liegen und 1 und 3 Fensterplätze sind. Folgende Wünsche sind zu berücksichtigen:
1) D will nicht rückwärts fahren,
2) B und C wollen nebeneinander sitzen,
3) A wünscht einen Fensterplatz
4) B und D wollen sich nicht gegenüber sitzen.
(a) Finden Sie eine Platzverteilung die alle Wünsche berücksichtigt. Ist sie eindeutig?
(b) Formulieren Sie ein Modell, in dem sich die Bedingungen 1) bis 4) als Boolesche
Terme audrücken lassen. Gibt es eine eindeutige Belegung der Variablen, die diese
Terme wahr macht?
(c) Wenn nicht, formulieren Boolesche Terme für weitere Bedingungen, die erfüllt sein
müssen, um Eindeutigkeit zu erzwingen.
5. Kleene–Stern (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für formale Sprachen L1 , L2 über einem Alphabet Σ die folgenden
Aussagen im Allgemeinen falsch sind:
(L1 ∪ L2 )∗ = (L∗1 ∪ L∗2 ) , (L1 ◦ L2 )∗ = (L∗1 ◦ L∗2 )
(L1 ∩ L2 )∗ = (L∗1 ∩ L∗2 )
Sie müssen also jeweils konkrete Sprachen angeben und ein Wort, das zur einen Menge
aber nicht zur anderen Menge gehört.
Es gibt nur genau zwei formale Sprachen L, sodass L∗ eine endliche Menge ist. Welche
sind das?
6. Tautologien (2 Punkte)
Bestimmen Sie, ob die folgenden Booleschen Terme Tautologien sind.
((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)
(¬q ∧ (p ⇒ q)) ⇒ ¬p
7. Antivalenz und NOR–Operator (4 Punkte)
Der NOR–Operator (man sagt auch Pierce–Symbol) p ↓ q zweier Wahrheitswerte p, q ist
genau dann 1, wenn gleichzeitig p = 0 und q = 0 gilt. Das entspricht also der negierten
Disjunktion. Untersuchen Sie, ob jeweils das Kommutativ- und das Assoziativgesetz
für die Antivalenz bzw. den NOR–Operator gelten!
Hinweis: Aufgaben 5 bis 7 werden korrigiert!