Numerische Mathematik für Studierende der Physik
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Numerische Mathematik für Studierende der Physik (Sommersemester 2017) Übungsblatt 3 Aufgabe 8: Elementares Beispiel zu Kondition und Stabilität Das numerische Problem bestehe in der Subtraktion a − b zweier reeller Zahlen a, b. Zeigen Sie: Das Problem ist schlechtkonditioniert, falls a und b ungefähr den gleichen Betrag haben ( Auslöschung“). Die Realisierung über eine Arithmetik mit endlicher Genauigkeit (siehe ” Vorlesung) ist jedoch rückwärtsstabil (und damit auch vorwärtsstabil). Das Beispiel illustriert, dass ein numerisch stabiler Algorithmus nicht notwendig genaue Ergebnisse liefert. Aufgabe 9: Rückwärts- und Vorwärtsstabilität a) Zeigen Sie: Die Berechnung des äußeren Produkts x yT ∈ Rn×n zweier Vektoren x, y ∈ Rn ist vorwärts-, aber im Allgemeinen nicht rückwärtsstabil. Überlegen Sie zur Rückwärtsstabilität (am besten anhand eines geeignet konstruierten Beispiels), dass sich das numerische berechnete Ergebnis (i.A.) nicht als exaktes Resultat (x + ∆x) (y + ∆y)T zu gestörten“ Eingabedaten x + ∆x und y + ∆y darstellen ” läßt. b) Zeigen Sie: Die Berechnung des Skalarprodukts (inneres Produkt) xT y ∈ R zweier Vektoren x, y ∈ Rn ist rückwärtsstabil. Aufgabe 10: Lineares Gleichungssystem und Rückwärtsfehler Verwenden Sie die in der Vorlesung behandelten Ergebnisse von Rigal und Gaches und Prager und Oettli für den normweisen (bzgl. der 1-Norm || . ||1 und bzgl. der Supremumsnorm || . ||∞ ) und den komponentenweisen Rückwärtsfehler für das in Abschnitt 1.2 der Vorlesung behandelte lineare Gleichungssystem: 169 142 297 403 x1 1011 142 375 549 759 x2 1825 297 549 862 1174 x3 = 2882 403 759 1174 1586 x4 3922 mit der numerisch (mittels MATLAB) berechneten Lösung: x1 0.999999999996815 x2 0.999999999995608 x3 = 1.000000000008591 0.999999999996552 x4 . Ziehen Sie zur Auswertung der Formeln für die Fehlerabschätzungen zweckmäßigerweise eine Software wie MATLAB, Octave, Mathematica, Python, ... heran und rechnen Sie mit doppelter Genauigkeit (double precision).
