1. Wege zur Quantenmechanik
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Huber Oliver – 9811289 Seite 1/10 QM 1. Wege zur Quantenmechanik 2. Konzepte Quantenmechanik 3. Quantendynamik 4. Lösungen der Schrödingergleichung 5. Quantendynamik im Heisenbergbild 6. Symmetrien 7. Streuung Huber Oliver – 9811289 Seite 2/10 1. Wege zur Quantenmechanik 1.1 Zeittafel Quantenmechanik: Zeittafel Hier eine Übersicht zur Entwicklung der Quantenmechanik (Quelle: L.Pittner, Vorlesungsunterlagen SS 2001). 1869 1897 1900 1905 1908 1911 1913 1913 1916 1921 1921 1923 1924 1925 1925 1925 1925 1926 1926 1926 1927 1927 1927 1927 M. Mendelejeff P. Zeeman Periodensystem der Elemente Aufspaltung der blauen Spektrallinie von Cadmium in ein Triplett im äußeren Magnetfeld (normaler ZeemanEffekt) M. Planck Gesetz der Hohlraumstrahlung (Strahlung eines schwarzen Körpers) A. Einstein Photoeffekt (Teilchennatur des Lichts) W. Ritz Kombinationsprinzip (Emissionsfrequenzen des Wasserstoffatoms) E. Rutherford Streuung von Alpha-Teilchen an Gold- und Silberfilmen N. Bohr Atommodell (Quantisierung der Energie) J. Stark Aufspaltung von Spektrallinien von Kanalstrahlen in einem äußeren elektrischen Feld N. Bohr Korrespondenzprinzip (Grenzübergang zur Klassischen Mechanik) A. H. Compton Streuung von Photonen an Elektronen (Teilchennatur von Elektronen und Photonen) 0. Stern, W. Gerlach Aufspaltung eines Strahls von Silberatomen in einem inhomogenen Magnetfeld dank ihrem magnetischen Moment A. Lande g-Faktor des Elektrons (magnetisches Moment) L. De Broglie Formel für die Wellenlänge des Elektrons S. A. Goudsmit, G. E. postulieren einen inneren Drehimpuls und Uhlenbeck dementsprechend ein magnetisches Moment des Elektrons. W. Heisenberg Matrizenmechanik (Transformationstheorie) M. Born, P. Jordan Vertauschungsrelation von Ort und Impuls W. Pauli Ausschließungsprinzip (Besetzung von Quantenzuständen durch Fermionen) E. Schrödinger Nichtrelativistische Wellengleichung für das Elektron E. Born Wahrscheinlichkeitswelle (statistische Interpretation) W. Pauli Matrizendarstellung des inneren Drehimpulses eines Elektrons N. Bohr Komplementarität der Teilchen- und Wellennatur der Materie W. Heisenberg Unbestimmtheitsrelation (unverträgliche Observable) N. Bohr, W. Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik Heisenberg J. v. Neumann Axiomatische Formulierung der Quantenmechanik im separablen Hilbertraum mit Hilfe des Spektraltheorems für selbst- adjungierte Operatoren Huber Oliver – 9811289 1927 1928 1935 1943 1952 1956 1958 1959 C. I. Davisson, L. H. Germer P. A. M. Dirac A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen C. G. Shull et al D. Bohm G. Möllenstedt, H. Düker R. Mößbauer 1965 Y. Aharonov, D. Bohm J. Bell 1985 1988 D. Deutsch A. Zeilinger et al 1992 Seite 3/10 Reflexion von Elektronen an Nickel- einkristallen (Wellennatur des Elektrons) Relativistische Wellengleichung für das Elektron Gedankenexperiment zur Frage der Lokalität Polarisierung von Elektronen durch Streuung an einer Goldfolie Verborgene Parameter (Kausalität und Lokalität?) Elektronenoptisches Biprisma (erstes Doppelspaltexperiment ) Einbau eines Gamma-strahlenden Atoms in ein Kristallgitter (scharfe Spektrallinien dank dem fehlenden Rückstoß) Phasenverschiebung der Elektronwellen-funktion durch ein magnetisches Vektorpotential (Nichtlokalität) Nicht-Lokalität der Quantenmechanik (Bell'sche Ungleichung) Quantencomputer Beugung von Neutronen am Doppelspalt (genaueste Bestätigung der Wellennatur des Elektrons) Quanteninformation, "Teleportation" Huber Oliver – 9811289 Seite 4/10 Wer von diesen Personen ist im Titelbild ganz oben zu finden, wer nicht? 1.2 Experimente siehe Anhang Literatur zum Abschnitt Die Experimente zur Quantenmechanik werde bei Fließbach kurz und in Galindo/Pascual ausfürlich besprochen. Auch allgemeine Texte wie etwa Hänsel/Naumann: "Physik; Atome, Atomkerne, Elementarteilchen" (Spektrum 1995) haben gute Diskussionen dazu. Und natürlich gibt es oft ausgezeichnete allgemeine Darstellungen in Artikeln wie etwa im "Scientific American" (siehe auch Gruppen-Projekt 1). Als Unterlagen zur Vorlesung vorwiegend verwendet habe ich: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading: 1994) T. Fließbach: Quantenmechanik (Spektrum Verlag Heidelberg: 1995) H. Mitter: Quantentheorie (B.I. Wissenschaftsverlag/ Spektrum Verlag, Heidelberg: 1993) Im Web abrufbar unter Quantentheorie,Vorlesungen über theoretische Physik III A. Galindo, P. Pascual: Quantum Mechanics I and II (Springer Verlag, Heidelberg: 1990) Klassische Lehrbücher sind natürlich Messiah Landau-Lifschitz Schiff Merzbacher sowie das Urgestein Dirac, Pauli, Neumann... Die Mathematik der Quantenmechanik ist die Funktionalanalysis. Eine Einführung dazu gibt es in der Vorlesung "Mathematische Methoden". Das Lehrbuch zur Vorlesung ist C. B. Lang und N. Pucker: Mathematische Methoden in der Physik (Spektrum Verlag 1998) und der Homepage zum Buch Ein ausführlicheres Lehrbuch zum Thema ist D. Werner: Funktionalanalysis (Springer-Verlag: 1997) An vielen Orten gibt es diverse Skripten zur Quantenmechanik, so zum Beispiel dieses (Dank für den Hinweis an G. Pfanner): Uni Dresden: Physik Vorlesungsmanuskripte G. Soff: Quantenmechanik (ps-File, 2MB) Huber Oliver – 9811289 Seite 5/10 2. Konzepte der Quantenmechanik< 2.1 Zustand, Observable, Messung Wir fassen zuerst die grundlegenden Konzepte der Qunatenmechnik zusammen und bereiten eine Mathematisierung vor. 2.2 Kets, Bras und Operatoren Die Mathematik der Quantenmechanik ist die Funktionalanalysis. In dieser Schreibweise identifizieren wir die Zustände mit Vektoren (Kets und Bras) in einem Vektorraum und die Obervablen mit Operatoren, die auf diese Vektoren wirken. In deisem Abschnitt erinnern wir an die wichtigsten Ideen der Funktionalanalysis. 2.3 Operatoren und Eigensysteme Selbstadjungierte (in endlich dimensionalen Rämen: hermitische) Operatoren haben ein orthogonales Eigensystem mit rellen Eigenwerten. So ein System ist ein gutes Basissystem für unseren Vektorraum (den Hilbertraum der Quantenmechanik). Unterschiedliche Operator liefern unterschiedliche Basissyteme. Ein Zustand kann in unterschiedlichen Basissystemen dargestellt werden, je nach Fragestellung (Messung). 2.4 Der Messprozess Im Messprozess wird vom Operator ein Eigenzustand selektiert; die Wahrscehinlichkeit für einen speziellen Eigenzustand (und Eigenwert) ist als Betragsquadrat des Koeffizienten gegeben, mit dem dieser Eigenzustand im einlaufenden Zustand auftaucht. Kompatible Operatoren haben ein geminsames Eigensystem und ihre Eigenwerte sind gleichzeitig messbar. Nichtkompatible Operatoren füren zu einer Unschärferelation. 2.5 Basissysteme, Ort, Impuls Die Eigensysteme des Orts- und des Impulsopertors führen zum Begriff der Wellenfunktion eine Zustands im Orts- oder im Impulsruam. Das bekannteste Beispiel dazu ist wohl das Gaußsche Wellenpaket. (siehe Anhang) Literatur zum Abschnitt Vieles hier ist im Buch von Sakurai (und im Buch von Mitter) zu finden. Grundlagen der Funktionalanalysis werden in der Vorlesung "Mathematische Methoden 5" besprochen, ein Text dazu ist das Buch von Lang/Pucker; weitergehende Texte zur Funktionalanalysis sind zum Beispiel das Buch von Werner. Huber Oliver – 9811289 Seite 6/10 3. Quantendynamik 3.1 Die Schrödingergleichung Die Zeitentwiclung eines Zustands erfolgt durch den unitären Operator U(t). Die Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung für diesen Operator. Daraus kann die Zeitentwicklung von Zuständen (Schrödingerbild) und Operatoren (Heisenbergbild) abgeleitet werden. Die zentrale Rolle spielt dabei der Hamiltonoperator H, dessen Eigenzustände feste Energieeigenwerte und einfaches Zeitverhalten haben. 3.2 Schrödingers Wellengleichung Wir diskutieren die zeitabhängige Gleichung für die Zeitentwicklung eines Zustandes in Ortsraumdarstellung, also für die Wellenfunktion. Stationäre Zustände folgen der stationären Schrödingergleichung. Allgemeine Lösungen sind durch Linearkombinationen der Eigenlösungen darstellbar. Wir diskutieren die Kontinuitätsgleichung sowie Rand- und Übergangsbedingungen. Huber Oliver – 9811289 Seite 7/10 4. Lösungen der Schrödingergleichung 4.1 Freie Teilchen Wir besprechen die Zeitentwicklung eines aus ebenen Wellen aufgebauten Gauß-förmigen Wellenpakets. Die Dispersionsbeziehung für massive Teilchen (E=p2/2m) bewirkt ein Zerfließen des Paketes mit der Zeit. Hier ist ein Mathematica-Notebook, welches diesen Effekt demonstriert: als html-File oder als Notebook (download mittels Menü der rechten Maustaste (935 kB) 4.2 Potentialtopf Stückweise konstante Potentiale werden besprochen. 4.3 Potentialbarriere Ebenfalls zur Klasse der stückweise konstanten Potentiale gehörend; wir berechnen Reflexions- und Transmissionseigenschaften 4.4 Deltapotential Der Grenzfall einer dünnen und hohen (oder tiefen) Barriere. Hier ändern sich die Anschlussbedingungen und man muss eine unstetige erste Ableitung berücksichtigen. 4.5 Harmonischer Oszillator Eine häufig verwendete Potentialform. Hier ist ein Mathematica-Notebook zu den Eigenlösungen des harmonischen Oszillators: als html-File oder als Notebook (download mittels Menü der rechten Maustaste (198 kB) 4.6 Mehrere Dimensionen Wir besprechen den Fall, dass der Hamiltonoperator in mehrere unabhängige Teile zerfällt. Dann wird die Wellenfunktion ein Produkt unabhängiger Wellenfunktionen. 4.7 Näherungverfahren: WKB Das Wentzel-Kramers-Brillouin Verfahren ist das einfachste und bekannteste Näherungverfahren der Quantenmechanik. Es ist für lansam variierende Potentiale geeignet. Huber Oliver – 9811289 Seite 8/10 5. Quantendynamik im Heisenbergbild 5.1 Heisenbergsche Bewegungsgleichung Im Heisenbergbild wird die Zeitentwicklung durch die Operatoren beschrieben und die bewegungsgleichung gibt die Zeitableitung eines Operators mit Hilfe seines Kommutators mit dem Hamiltonoperator an. 5.2 Harmonischer Oszillator Die Heisenbergsche Formul;ierung erlaubt eine (meiner Meinung nach) besonders elegante Art der Lösung dieses Systems. (Allerdings, wie Boltzmann sagte: Eleganz ist was fü die Schneider.) Hier ist ein Text, der den harmonischen Oszillator im Operatorbild bespricht: pdf-File Huber Oliver – 9811289 Seite 9/10 6. Symmetrien 6.1 Symmetrietransformationen ...werden durch unitäre Transformationen realisiert. 6.2 Drehungen in der Quantenmechanik Formal funktioniert dies ähnlich wie bei der Translation, wobei der Drehimpulsoperator die Rolle des Impulsoperators einnimmt. Mit Hilfe der Drehimpulsopertaoren kann man, wiederum ählich wie beim harmonischen Oszillator, Leiteroperatoren bauen, die die verschiedenen quantenmechanischen Zustäde durchlaufen. 6.3 Zentralkraftproblem Die Schrödingergleichung für zentralsymmetrische Potentiale wird am besten in Kugelkoordinaten angeschrieben. Sie zerfällt in einen Drehimpuls-Anteil und einen radialen Teil. 6.4 Wasserstoffatom Das Bohrsche Atommodell ist das vermutlich bekannteste Zentralkraftproblem. Hier sind zwei Links zu Tabellen, die in diesem Zusammenhang relevant sind: Physical Constants, Units, Atomic and Nuclear Properties (pdf) Particle Data Group: Tables 6.5 Addition von Spin und Drehimpuls Ein kurzer Überblick dazu. Huber Oliver – 9811289 Seite 10/10 7. Streuung 7.1 Streuamplitude Bisher haben wir "Streuung" nur in einer Dimension behandelt (Transmission und Refelxion). In der Praxis allerdings gehört Streuung zu den wichtigsten experimentellen Methoden, um die Eigenschaften eines Systems (eben auch von Bindungszuständen) zu untersuchen. 7.2 Partialwellenzerlegung Auch hier ist die Rotationssymmetrie wichtig, da man durch Zerlegung der Streuamplitude in Beiträge festen Drehimpulses das Problem wesentlich vereinfachen kann. 7.3 Lippmann-Schwinger Gleichung Das ist eine Integralgleichungsform der Schröndingergleichung, welche sich gut für eine näherungsweise Lösung von Streuprobleme eignet.
