1. Wege zur Quantenmechanik

Huber Oliver – 9811289
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QM
1.
Wege zur Quantenmechanik
2.
Konzepte Quantenmechanik
3.
Quantendynamik
4.
Lösungen der Schrödingergleichung
5.
Quantendynamik im Heisenbergbild
6.
Symmetrien
7.
Streuung
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1. Wege zur Quantenmechanik
1.1
Zeittafel
Quantenmechanik: Zeittafel
Hier eine Übersicht zur Entwicklung der Quantenmechanik (Quelle: L.Pittner,
Vorlesungsunterlagen SS 2001).
1869
1897
1900
1905
1908
1911
1913
1913
1916
1921
1921
1923
1924
1925
1925
1925
1925
1926
1926
1926
1927
1927
1927
1927
M. Mendelejeff
P. Zeeman
Periodensystem der Elemente
Aufspaltung der blauen Spektrallinie von Cadmium in
ein Triplett im äußeren Magnetfeld (normaler ZeemanEffekt)
M. Planck
Gesetz der Hohlraumstrahlung (Strahlung eines
schwarzen Körpers)
A. Einstein
Photoeffekt (Teilchennatur des Lichts)
W. Ritz
Kombinationsprinzip (Emissionsfrequenzen des
Wasserstoffatoms)
E. Rutherford
Streuung von Alpha-Teilchen an Gold- und Silberfilmen
N. Bohr
Atommodell (Quantisierung der Energie)
J. Stark
Aufspaltung von Spektrallinien von Kanalstrahlen in
einem äußeren elektrischen Feld
N. Bohr
Korrespondenzprinzip (Grenzübergang zur
Klassischen Mechanik)
A. H. Compton
Streuung von Photonen an Elektronen (Teilchennatur
von Elektronen und Photonen)
0. Stern, W. Gerlach Aufspaltung eines Strahls von Silberatomen in einem
inhomogenen Magnetfeld dank ihrem magnetischen
Moment
A. Lande
g-Faktor des Elektrons (magnetisches Moment)
L. De Broglie
Formel für die Wellenlänge des Elektrons
S. A. Goudsmit, G. E. postulieren einen inneren Drehimpuls und
Uhlenbeck
dementsprechend ein magnetisches Moment des
Elektrons.
W. Heisenberg
Matrizenmechanik (Transformationstheorie)
M. Born, P. Jordan
Vertauschungsrelation von Ort und Impuls
W. Pauli
Ausschließungsprinzip (Besetzung von
Quantenzuständen durch Fermionen)
E. Schrödinger
Nichtrelativistische Wellengleichung für das Elektron
E. Born
Wahrscheinlichkeitswelle (statistische Interpretation)
W. Pauli
Matrizendarstellung des inneren Drehimpulses eines
Elektrons
N. Bohr
Komplementarität der Teilchen- und Wellennatur der
Materie
W. Heisenberg
Unbestimmtheitsrelation (unverträgliche Observable)
N. Bohr, W.
Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik
Heisenberg
J. v. Neumann
Axiomatische Formulierung der Quantenmechanik im
separablen Hilbertraum mit Hilfe des Spektraltheorems
für selbst- adjungierte Operatoren
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1927
1928
1935
1943
1952
1956
1958
1959
C. I. Davisson, L. H.
Germer
P. A. M. Dirac
A. Einstein, B.
Podolsky, N. Rosen
C. G. Shull et al
D. Bohm
G. Möllenstedt, H.
Düker
R. Mößbauer
1965
Y. Aharonov, D.
Bohm
J. Bell
1985
1988
D. Deutsch
A. Zeilinger et al
1992
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Reflexion von Elektronen an Nickel- einkristallen
(Wellennatur des Elektrons)
Relativistische Wellengleichung für das Elektron
Gedankenexperiment zur Frage der Lokalität
Polarisierung von Elektronen durch Streuung an einer
Goldfolie
Verborgene Parameter (Kausalität und Lokalität?)
Elektronenoptisches Biprisma (erstes Doppelspaltexperiment )
Einbau eines Gamma-strahlenden Atoms in ein
Kristallgitter (scharfe Spektrallinien dank dem
fehlenden Rückstoß)
Phasenverschiebung der Elektronwellen-funktion durch
ein magnetisches Vektorpotential (Nichtlokalität)
Nicht-Lokalität der Quantenmechanik (Bell'sche
Ungleichung)
Quantencomputer
Beugung von Neutronen am Doppelspalt (genaueste
Bestätigung der Wellennatur des Elektrons)
Quanteninformation, "Teleportation"
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Wer von diesen Personen ist im Titelbild ganz oben zu finden, wer nicht?
1.2
Experimente
siehe Anhang
Literatur zum Abschnitt
Die Experimente zur Quantenmechanik werde bei Fließbach kurz und in Galindo/Pascual
ausfürlich besprochen. Auch allgemeine Texte wie etwa Hänsel/Naumann: "Physik; Atome,
Atomkerne, Elementarteilchen" (Spektrum 1995) haben gute Diskussionen dazu. Und
natürlich gibt es oft ausgezeichnete allgemeine Darstellungen in Artikeln wie etwa im
"Scientific American" (siehe auch Gruppen-Projekt 1).
Als Unterlagen zur Vorlesung vorwiegend verwendet habe ich:
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J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading: 1994)
T. Fließbach: Quantenmechanik (Spektrum Verlag Heidelberg: 1995)
H. Mitter: Quantentheorie (B.I. Wissenschaftsverlag/ Spektrum Verlag, Heidelberg:
1993)
Im Web abrufbar unter Quantentheorie,Vorlesungen über theoretische Physik III
A. Galindo, P. Pascual: Quantum Mechanics I and II (Springer Verlag, Heidelberg:
1990)
Klassische Lehrbücher sind natürlich
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

Messiah
Landau-Lifschitz
Schiff
Merzbacher
sowie das Urgestein Dirac, Pauli, Neumann...
Die Mathematik der Quantenmechanik ist die Funktionalanalysis. Eine Einführung dazu gibt
es in der Vorlesung "Mathematische Methoden". Das Lehrbuch zur Vorlesung ist

C. B. Lang und N. Pucker: Mathematische Methoden in der Physik (Spektrum
Verlag 1998) und der Homepage zum Buch
Ein ausführlicheres Lehrbuch zum Thema ist

D. Werner: Funktionalanalysis (Springer-Verlag: 1997)
An vielen Orten gibt es diverse Skripten zur Quantenmechanik, so zum Beispiel dieses
(Dank für den Hinweis an G. Pfanner):


Uni Dresden: Physik Vorlesungsmanuskripte
G. Soff: Quantenmechanik (ps-File, 2MB)
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2. Konzepte der Quantenmechanik<
2.1 Zustand, Observable, Messung
Wir fassen zuerst die grundlegenden Konzepte der Qunatenmechnik zusammen und
bereiten eine Mathematisierung vor.
2.2 Kets, Bras und Operatoren
Die Mathematik der Quantenmechanik ist die Funktionalanalysis. In dieser Schreibweise
identifizieren wir die Zustände mit Vektoren (Kets und Bras) in einem Vektorraum und die
Obervablen mit Operatoren, die auf diese Vektoren wirken. In deisem Abschnitt erinnern wir
an die wichtigsten Ideen der Funktionalanalysis.
2.3 Operatoren und Eigensysteme
Selbstadjungierte (in endlich dimensionalen Rämen: hermitische) Operatoren haben ein
orthogonales Eigensystem mit rellen Eigenwerten. So ein System ist ein gutes Basissystem
für unseren Vektorraum (den Hilbertraum der Quantenmechanik). Unterschiedliche Operator
liefern unterschiedliche Basissyteme. Ein Zustand kann in unterschiedlichen Basissystemen
dargestellt werden, je nach Fragestellung (Messung).
2.4 Der Messprozess
Im Messprozess wird vom Operator ein Eigenzustand selektiert; die Wahrscehinlichkeit für
einen speziellen Eigenzustand (und Eigenwert) ist als Betragsquadrat des Koeffizienten
gegeben, mit dem dieser Eigenzustand im einlaufenden Zustand auftaucht. Kompatible
Operatoren haben ein geminsames Eigensystem und ihre Eigenwerte sind gleichzeitig
messbar. Nichtkompatible Operatoren füren zu einer Unschärferelation.
2.5
Basissysteme, Ort, Impuls
Die Eigensysteme des Orts- und des Impulsopertors führen zum Begriff der Wellenfunktion
eine Zustands im Orts- oder im Impulsruam. Das bekannteste Beispiel dazu ist wohl das
Gaußsche Wellenpaket. (siehe Anhang)
Literatur zum Abschnitt
Vieles hier ist im Buch von Sakurai (und im Buch von Mitter) zu finden. Grundlagen der
Funktionalanalysis werden in der Vorlesung "Mathematische Methoden 5" besprochen, ein
Text dazu ist das Buch von Lang/Pucker; weitergehende Texte zur Funktionalanalysis sind
zum Beispiel das Buch von Werner.
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3. Quantendynamik
3.1 Die Schrödingergleichung
Die Zeitentwiclung eines Zustands erfolgt durch den unitären Operator U(t). Die
Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung für diesen Operator. Daraus kann die
Zeitentwicklung von Zuständen (Schrödingerbild) und Operatoren (Heisenbergbild) abgeleitet
werden. Die zentrale Rolle spielt dabei der Hamiltonoperator H, dessen Eigenzustände feste
Energieeigenwerte und einfaches Zeitverhalten haben.
3.2 Schrödingers Wellengleichung
Wir diskutieren die zeitabhängige Gleichung für die Zeitentwicklung eines Zustandes in
Ortsraumdarstellung, also für die Wellenfunktion. Stationäre Zustände folgen der stationären
Schrödingergleichung. Allgemeine Lösungen sind durch Linearkombinationen der
Eigenlösungen darstellbar. Wir diskutieren die Kontinuitätsgleichung sowie Rand- und
Übergangsbedingungen.
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4. Lösungen der Schrödingergleichung
4.1 Freie Teilchen
Wir besprechen die Zeitentwicklung eines aus ebenen Wellen aufgebauten Gauß-förmigen
Wellenpakets. Die Dispersionsbeziehung für massive Teilchen (E=p2/2m) bewirkt ein Zerfließen des
Paketes mit der Zeit.
Hier ist ein Mathematica-Notebook, welches diesen Effekt demonstriert:
als html-File
oder als Notebook (download mittels Menü der rechten Maustaste (935 kB)
4.2 Potentialtopf
Stückweise konstante Potentiale werden besprochen.
4.3 Potentialbarriere
Ebenfalls zur Klasse der stückweise konstanten Potentiale gehörend; wir berechnen Reflexions- und
Transmissionseigenschaften
4.4 Deltapotential
Der Grenzfall einer dünnen und hohen (oder tiefen) Barriere. Hier ändern sich die
Anschlussbedingungen und man muss eine unstetige erste Ableitung berücksichtigen.
4.5 Harmonischer Oszillator
Eine häufig verwendete Potentialform.
Hier ist ein Mathematica-Notebook zu den Eigenlösungen des harmonischen Oszillators:
als html-File oder als Notebook (download mittels Menü der rechten Maustaste (198 kB)
4.6 Mehrere Dimensionen
Wir besprechen den Fall, dass der Hamiltonoperator in mehrere unabhängige Teile zerfällt. Dann wird
die Wellenfunktion ein Produkt unabhängiger Wellenfunktionen.
4.7 Näherungverfahren: WKB
Das Wentzel-Kramers-Brillouin Verfahren ist das einfachste und bekannteste Näherungverfahren der
Quantenmechanik. Es ist für lansam variierende Potentiale geeignet.
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5. Quantendynamik im Heisenbergbild
5.1 Heisenbergsche Bewegungsgleichung
Im Heisenbergbild wird die Zeitentwicklung durch die Operatoren beschrieben und die
bewegungsgleichung gibt die Zeitableitung eines Operators mit Hilfe seines Kommutators mit dem
Hamiltonoperator an.
5.2 Harmonischer Oszillator
Die Heisenbergsche Formul;ierung erlaubt eine (meiner Meinung nach) besonders elegante Art der
Lösung dieses Systems. (Allerdings, wie Boltzmann sagte: Eleganz ist was fü die Schneider.)
Hier ist ein Text, der den harmonischen Oszillator im Operatorbild bespricht: pdf-File
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6. Symmetrien
6.1 Symmetrietransformationen
...werden durch unitäre Transformationen realisiert.
6.2 Drehungen in der Quantenmechanik
Formal funktioniert dies ähnlich wie bei der Translation, wobei der Drehimpulsoperator die
Rolle des Impulsoperators einnimmt. Mit Hilfe der Drehimpulsopertaoren kann man,
wiederum ählich wie beim harmonischen Oszillator, Leiteroperatoren bauen, die die
verschiedenen quantenmechanischen Zustäde durchlaufen.
6.3 Zentralkraftproblem
Die Schrödingergleichung für zentralsymmetrische Potentiale wird am besten in
Kugelkoordinaten angeschrieben. Sie zerfällt in einen Drehimpuls-Anteil und einen radialen
Teil.
6.4 Wasserstoffatom
Das Bohrsche Atommodell ist das vermutlich bekannteste Zentralkraftproblem.
Hier sind zwei Links zu Tabellen, die in diesem Zusammenhang relevant sind:
Physical Constants, Units, Atomic and Nuclear Properties (pdf)
Particle Data Group: Tables
6.5 Addition von Spin und Drehimpuls
Ein kurzer Überblick dazu.
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7. Streuung
7.1 Streuamplitude
Bisher haben wir "Streuung" nur in einer Dimension behandelt (Transmission und Refelxion).
In der Praxis allerdings gehört Streuung zu den wichtigsten experimentellen Methoden, um
die Eigenschaften eines Systems (eben auch von Bindungszuständen) zu untersuchen.
7.2 Partialwellenzerlegung
Auch hier ist die Rotationssymmetrie wichtig, da man durch Zerlegung der Streuamplitude in
Beiträge festen Drehimpulses das Problem wesentlich vereinfachen kann.
7.3 Lippmann-Schwinger Gleichung
Das ist eine Integralgleichungsform der Schröndingergleichung, welche sich gut für eine
näherungsweise Lösung von Streuprobleme eignet.