1 Grundlagen der Quantenmechanik - KIT

1 Grundlagen der Quantenmechanik
1.1 Einleitung
Eine Beschäftigung mit der Quantenphysik oder Quantenmechanik kann aus vielfältigen Gründen erfolgen. Neben dem eher naturwissenschaftlichen »Wie funktioniert das?« kann das ingenieurwissenschaftliche »Was kann ich damit machen?« gleichermaßen Motivation für das
Studium der quantenmechanischen Grundlagen der Materie sein. Im Zentrum dieser Vorlesung
werden die Grundlagen der Halbleiterelektronik stehen. Das bei Halbleiterbauelementen allgegenwärtige Konzept von Leitungs- und Valenzbändern ist, genau wie das Bändermodell für
Elektronen in Festkörpern, nur mit ausreichender Vertrautheit mit quantenmechanischen Konzepten zu verstehen. Die Kennlinie einer pn-Diode kann nur erfasst werden, wenn zu Wissen
über die Quantenmechanik auch noch Kenntnisse der Quantenstatistik und der Transportphänomene hinzukommen. In der Praxis werden Sie typischerweise das Verhalten der einzelnen Bauelemente im Rahmen einer Simulation vorhersagen. Ein Zweck dieser Vorlesung ist zu verstehen, wie sich die verwendeten Parameter in einer solchen Simulation aus den mikroskopischen
Größen ergeben. Die Quantenmechanik ist außer in der Halbleiterelektronik auch in vielen anderen Teildisziplinen der Elektrotechnik und Informationstechnik (ETIT) präsent. Die Arbeit
auf dem Gebiet supraleitender Schaltkreise oder die Beschäftigung mit Bauelementen der Optoelektronik ist vielfach von quantenmechanischen Fragestellungen geprägt. Ein anderes auch
schon für diskrete Bauelemente wichtiges Beispiel, in dem die Quantenmechanik und -statistik
sich in konkreten Herausforderungen manifestiert, sind Rauschphänomene und -probleme in
elektronischen Schaltungen.
Im Einklang mit der (nicht ganz korrekten) Einschätzung, dass es immer dann quantenmechanisch wird, wenn die zu beschreibenden Strukturen sehr klein sind, ist die Mikroelektronik ein Bereich, in dem wir neuen auch grundsätzlichen Herausforderungen begegnen werden.
Mit mehr als 100 Millionen oder gar einer Milliarde Transistoren auf einem Die (ungefasster
Chip) und lateralen Strukturgrößen im Bereich von 50 nm wird die Chipentwicklung immer
„quantenmechanischer“ werden (siehe Abbildung 1.1). Auch die Siliziumelektronik umfasst
auf der Materialseite viel mehr als das mikroskopische Gestalten von Silizium. Mit verschiedenen Methoden hergestellte ultradünne Nitrid- und Oxidschichten sind erforderlich, um die
eigentliche elektronische Funktion, beispielsweise einer Speicherzelle, sicherzustellen (siehe
Abbildung 1.2(a)). Die Vorlesung soll daher auch für die materialwissenschaftlichen Herausforderungen sensibilisieren und Grundkenntnisse bereitstellen. Die Weiterentwicklung der SiMikroelektronik ist eine Material- und Technologieschlacht, die grundlegende Kenntnisse über
den Aufbau der Materie voraussetzt. Die gilt umso mehr für mögliche zukünftige Konzepte
jenseits einer siliziumbasierten Mikroelektronik. Schon heute spielen Halbleiter auf der Basis
von Gallium und Arsen und verwandten Atomen die zentrale Rolle bei der Optoelektronik, zum
Beispiel in Leuchtdioden. Abbildung 1.2(b) zeigt anhand eines so genannten Quantenpunktes
ein aktuelles Beispiel aus der Forschung im Bereich der Bauelemente für die optische Nachrichtentechnik. Für die eigentliche Informationsverarbeitung werden zurzeit viele verschiedene
Konzepte in den universitären und industriellen Forschungslabors verfolgt. Neben revolutio-
2
1 Grundlagen der Quantenmechanik
Abbildung 1.1: Entwicklung der Anzahl der Transistoren auf einem Chip in der Mikroelektronik [Quelle:
www.ICKnowledge.com].
(a)
(b)
Abbildung 1.2: Elektronenmikroskopische Aufnahme einer Speicherzelle (a) und von sogenannten
Quantenpunkten (b) [Quelle: www.infineon.com].
nären Konzepten wie dem Quanten- oder dem Spincomputer sind auch zahlreiche neuartige
Materialsysteme aufgeführt, die zurzeit noch keinen Zugang zum Massenmarkt der Mikroelektronik gefunden haben (siehe 1.3).
1.2 Historisches
3
Abbildung 1.3: Schematische Darstellung des Entwicklungstandes verschiedener Technologien für die
Informationsverarbeitung. (RSFQ: Rapid Single Flux Quantum, RTD: Resonant tunneling device, SET:
Single electron transistor)[Quelle: VDI].
1.2 Historisches
1.2.1 Physikalische Theorien
Die Naturbeschreibung und auch die Beschreibung technischer Prozesse erfolgte gegen Ende
des 19. Jahrhunderts auf dem Gebiet der Mechanik mit Hilfe der N EWTON’schen Axiome
Satz 1.1 (N EWTON’sche Axiome)
1. Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung,
solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist.
2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht
nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
~F = m~a
(1.1)
3. Kräfte treten immer paarweise auf. übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus,
so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (actio =
reactio).
und auf dem Gebiet der Elektrodynamik mit Hilfe der M AXWELL’schen Gleichungen1
Satz 1.2 (M AXWELL’sche Gleichungen)
1. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes
~∇ · ~D = ρ
(1.2)
2. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion
abhängig.
~
~∇ × ~E = − ∂ B
(1.3)
∂t
3. Das magnetische Feld hat keine Quellen.
~∇ · ~B = 0
1 James
(1.4)
Clerk M AXWELL ∗13. Juni 1831 in Edinburgh, †5. November 1879 in Cambridge, schottischer Physiker
4
1 Grundlagen der Quantenmechanik
Abbildung 1.4: Schema zu einer physikalischen Theorie.
4. Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der elektrischen Stromdichte und von der elektrischen
Flussdichte ab.
~
~∇ × H
~ = ~j − ∂ D
(1.5)
∂t
Diese beiden Theorien sind Prototypen für das Vorgehen in der Naturwissenschaft und den daraus hervorgegangenen angewandten Ingenieurwissenschaften. Beide Theorien stützen sich auf
eine kleine Zahl von postulierten Axiomen, mit deren Hilfe dann durch Deduktion überprüfbare
Vorhersagen gemacht werden können. Im Prinzip ist ein solcher Ansatz auch die Grundlage aller
rechnergestützten Entwurfsverfahren, wie sie auf nahezu allen Gebieten der Technik eingesetzt
werden. Wir stecken in die Entwurfssoftware die Axiome bzw. aus den Axiomen abgeleitete
gut überprüfte Vorhersagen hinein und nutzen dann die softwaregestützte Deduktion, um eine
neue Maschine, eine neue Schaltung oder ein neues mechanisches Werkstück mit bestimmten
Eigenschaften zu schaffen.
Ähnlich wie bei einer heutigen Entwurfsoftware gilt auch für eine physikalische Theorie, dass
sie nur einen beschränkten Gültigkeitsbereich hat (siehe 1.2.2). Von daher muss in beiden Fällen die Anwendbarkeit der Theorie kritisch hinterfragt werden. Die N EWTON’sche Mechanik
zum Beispiel ist nur dann applikabel, wenn die jeweiligen Geschwindigkeiten deutlich geringer
als die Lichtgeschwindigkeit c0 sind. Ansonsten ist eine Berücksichtigung der relativistischen
Effekte erforderlich.
Wie und wann quantenmechanische Effekte eine Rolle spielen, ist nicht ganz so klar nachzuvollziehen. Eine quantenmechanische Betrachtung ist dann nicht erforderlich, wenn gilt:
Energie · Zeit h = 6.626 · 10−34 Js.
(1.6)
Dieses Produkt wird als Wirkung bezeichnet und h ist hierbei das sogenannte P LANCK’sche
Wirkungsquantum. Diese Größe spielt in unserer täglichen Erfahrung keine Rolle, daher fällt
eine Einordnung schwer. Einen Anhaltspunkt gibt uns die Energie. Immer dann, wenn wir über
kleine Energien reden, zum Beispiel bei der Diskussion von einzelnen Atomen oder einzelnen
Elektronen in einem Halbleiter, muss die Quantenphysik berücksichtigt werden.
Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, die auch zu einer einheitlichen Beschreibung von Feldern/Wellen (also Dingen, die ganze Raumbereiche füllen) und Teilchen
(also punktförmigen Objekten) führt.
1.2 Historisches
Abbildung 1.5: Durch die P LANCK’sche Strahlungsformel I(λ ) =
5
2hc20
λ5
hc
−1
0
λ kB T −1
e
erfolgte erstmalig
eine einheitliche Beschreibung des Schwarzkörperspektrums. Die Gesetze von Wien und Rayleigh-Jeans
ergeben sich als Näherungen für den hoch- bzw. niederenergetischen Bereich. In der Abbildung ist die
Strahldichte gegen die Kreisfrequenz ω = 2πc0 λ aufgetragen bzw. eine dazu proportionale Größe aufgetragen.
1.2.2 Der Beginn der Quantenmechanik
Als Geburtsstunde der Quantenmechanik gilt die Entdeckung der Formel für die Schwarzkörperstrahlung, also eine quantitative Beschreibung des Emissionsspektrums eines heißen Körpers (z.B. in einer Glühlampe). Die von P LANCK2 1900 aufgestellte Formel beruht auf der
Annahme, dass die Energie des Strahlers nur in der Form von einzelnen Energiepaketen, sogenannten Energiequanten abgegeben bzw. aufgenommen werden kann. Mit dieser zum damaligen Zeitpunkt revolutionären These wurden die bis dato näherungsweise gültigen Gesetze zur
Beschreibung der Strahlungsspektren von 3 R AYLEIGH -J EANS und 4 W IEN abgelöst. Die Erklärung des Photoeffektes durch E INSTEIN5 1905/1917 spielte ebenfalls eine entscheidende Rolle
bei der Einführung und Akzeptanz der Quantenmechanik. Wie in Abbildung 1.6 darstellt, können durch Beleuchtung aus einer Festkörperoberfläche Elektronen herausgelöst werden. Die
kinetische Energie der ausgelösten Elektronen und die Frage, ob überhaupt Elektronen herausgelöst werden, hängt im Gegensatz zu einer klassischen Betrachtung („viel hilft viel“) nicht
von der Intensität der elektromagnetischen Welle ab. Vielmehr ist die Frequenz des Lichtes
entscheidend. Dies führt zu einer Interpretation von Licht als ein Schauer von Teilchen, den
2 Max
Karl Ernst Ludwig P LANCK ∗23. April 1858 in Kiel, †4. Oktober 1947 in Göttingen, deutscher Physiker
William Strutt, 3. Baron R AYLEIGH, ∗12. November 1842 in Langford Grove, Meldon, England, †30. Juni
1919 in Terlins Place bei Witham, England und Sir James Hopwood J EANS, ∗11. September 1877 in Ormskirk,
Lancashire, ∗16. September 1946 in Dorking, Surrey beide englische Physiker, Mathematiker und Astronomen
4 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz W IEN , ∗13. Januar 1864 in Gaffken bei Fischhausen, dem heutigen
Primorsk in Ostpreußen, †30. August 1928 in München, deutscher Physiker
5 Albert E INSTEIN , ∗14. März 1879 in Ulm, †18. April 1955 in Princeton, USA, deutscher Physiker
3 John
6
1 Grundlagen der Quantenmechanik
Abbildung 1.6: Licht löst Elektronen aus Festkörperoberflächen aus. Die Anzahl und Energie der Elektronen kann gemessen werden.
sogenannten Photonen.
Die Einführung einer Quantenhypothese in die Beschreibung von Materie erfolgte 1913
durch 6 B OHR. Ihm gelang ein wichtiger Schritt zur Erklärung der Spektrallinien in atomaren
Emissionsspektren durch die folgenden Postulate:
Satz 1.3 (Bohr’sche Postulate)
1. Das Elektron bewegt sich auf Kreisbahnen um den Kern. Diese sind stationär und das Elektron
strahlt keine Energie ab.
2. Unter allen Kreisbahnen sind nur diejenigen erlaubt, auf denen der Drehimpuls des Elektrons ein
h
ganzzahliges Vielfaches von h̄ = 2π
ist.
3. Strahlung wird nur beim Übergang zwischen zwei stationären Zuständen emittiert oder absorbiert.
Für ein Verständnis des Aufbaus der Materie war dies ein gigantischer Schritt. Für eine Vorhersage von Phänomenen, die über ein einzelnes Atom hinausgehen, ist das Modell allerdings
nicht wirklich brauchbar. Zudem steht auch die Grundaussage, dass auf einer stationären Bahn
keine Energie abgestrahlt wird, im Widerspruch zu den Erkenntnissen aus der Elektrodynamik,
wo Sie gelernt haben, dass bewegte Ladungen als Quelle eines elektromagnetischen Feldes fungieren.
Zeitlich parallel zur theoretischen Formulierung der Quantenmechanik gelang den amerikanischen Forschern 7 DAVISSON und 8 G ERMER 1927 der Nachweis der Wellennatur von Elektronen. Bei diesem schematisch in Abbildung 1.8 dargestellten Experiment konnte erstmalig
anhand einer sonst nur für Wellen bekannten Interferenzerscheinung gezeigt werden, dass Teilchen auch als Wellen auftreten können. Dieses Experiment ist komplementär zum Photoeffekt
6 Niels
Henrik David B OHR, ∗7. Oktober 1885 in Kopenhagen, †18. November 1962 in Kopenhagen, dänischer
Physiker
7 Clinton Joseph DAVISSON , ∗22. Oktober 1881 in Bloomington, Illinois †1. Februar 1958 in Charlottesville,
Virginia, US-amerikanischer Physiker
8 Lester Halbert G ERMER , ∗10. Oktober 1896 in Chicago, †3. Oktober 1971 in Gardiner, New York. USamerikanischer Physiker
1.2 Historisches
7
Abbildung 1.7: Schema zum Bohr’schen Atommodell. Die Elektronen bewegen sich auf sphärischen
Bahnen um den Kern.
Abbildung 1.8: Schema zum Elektronen-Interferenzexperiment von Davisson und Germer. Im Gegensatz zu dem für klassische Kugeln zu erwartenden Ergebnis b) kommt es zur Ausbildung eines Interferogramms c).
bei dem einem etablierten Wellenphänomen (dem Licht) auch Teilchencharakter zugesprochen
werden muss.
Der Welle-Teilchen- Dualismus kommt in einem solchen Experiment in seiner Reinform zur
Geltung, denn das Experiment funktioniert auch für den Fall, dass im Schnitt weniger als ein
einziges Elektron zwischen Kanone und Detektor unterwegs ist. Aus den in 1.3 gezeigten Experimenten ist zu folgern, dass die Flugbahn eines einzelnen Teilchens prinzipiell nicht bekannt
ist und ein Abweichen von einer Gerade auftritt. Die Auftreffpunkte auf einem Detektor sind
scheinbar regellos, sie treten jedoch an einigen Stellen gehäuft und an anderen überhaupt nicht
auf. Die Häufung von Treffern erfolgt an den in Abbildung 1.8 angedeuteten Maxima. Des
weiteren zerstört jeder Versuch, die Flugbahn der Elektronen genauer zu bestimmen, das Inter-
8
1 Grundlagen der Quantenmechanik
Abbildung 1.9: Schema zur Elektronenbeugung am Spalt. Elektronen-Interferenzexperiment von Davisson und Germer [Quelle: U. Leipner, Halle]
ferenzmuster. Stellt man beispielsweise direkt hinter einem der beiden Spalte eine Lichtquelle
auf, um durch Streuung von Photonen an den Elektronen den Spalt zu bestimmen, durch den das
Elektron gerade flog, so ist nur mehr eine Überlagerung der beiden Einzelspaltmuster auf dem
Schirm erkennbar (1.8). Außerdem wird hier aber noch deutlich, dass in der Quantenmachnik
der Messprozess immer einen spürbaren Eingriff in das beobachtete System darstellt und daher
die klassische Idealisierung einer störungsfreien Messung nicht mehr haltbar ist.
1.3 Die Schrödingergleichung9
Die Quantenmechanik ist eine Theorie, die es uns erlaubt, Vorhersagen über die zeitliche Entwicklung eines Zustandes eines Systems zu machen. Ganz allgemein ist der Zustand eines Systems der minimale Satz von physikalischen Größen, aus denen sich maximale Information ableiten lässt. Ein wenig konkreter formuliert erlaubt uns eine Theorie wie die Quantenmechanik
eine eindeutige Vorhersage über den Zustand zum Zeitpunkt t aus der Kenntnis des Zustands
zum Zeitpunkt t0 .
Aus der klassischen Mechanik ist uns dieses Vorgehen wohl bekannt. Kennt man zu einem
Zeitpunkt Ort und Geschwindigkeit eines Massepunktes, so erlauben die N EWTON’schen Gleichungen eine Vorhersage über die zukünftige zeitliche Entwicklung dieser Größen.
Mathematischer formuliert können wir schreiben:
dZ(t)
= F (Z(t))
dt
9 Erwin
(1.7)
Rudolf Josef Alexander S CHRÖDINGER, ∗12. August 1887 in Wien-Erdberg, †4. Januar 1961 in Wien,
österreichischer Physiker
1.3 Die Schrödingergleichung
(a)
9
(b)
Abbildung 1.10: (a) Zum Zeitpunkt t befindet sich das Teilchen der Masse m am Ort ~r und bewegt sich
mit der Geschwindigkeit~v. Der Impuls des Teilchens beträgt ~p = m~v. Schema zur klassischen Mechanik.
(b) Vorhersage der Bewegung eines Massepunktes.
Die zeitliche änderung des Zustandes wird beschrieben durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung. Dies ist die allgemeine Formulierung der Situation, die uns aus der klassischen Mechanik
10 und auch aus der Elektrodynamik bekannt vorkommen sollte. Auch in der Elektrodynamik
gilt: Kennen wir die Felder und Quellen zu einem Zeitpunkt, so können wir für alle Zeiten eine
Vorhersage für die zeitliche Entwicklung der elektromagnetischen Felder bzw. Wellen machen.
Es stellt sich also die Frage nach einer Gleichung bzw. nach den Postulaten, auf denen die
Quantenmechanik aufgebaut ist.
1.3.1 Der quantenmechanische Zustand
Satz 1.4 (1. Postulat der Quantenmechanik)
Der quantenmechanische Zustand eines Teilchens der Masse m, das sich in einem Kraftfeld mit dem Potential V (x,t) befindet, lässt sich als komplexwertige Funktion ψ(x,t) des Ortes und der Zeit beschreiben.
Seine Zeitentwicklung gehorcht der zeitabhängigen Schrödingergleichung
∂ ψ(x,t)
h̄2 ∂ 2
jh̄
= −
+V (x,t) ψ(x,t)
(1.8)
∂t
2m ∂ x2
Hierbei ist h̄ (sprich »h-quer«) das P LANCK’sche Wirkungsquantum dividiert durch 2π, das
immer wieder in der quantenmechanischen Beschreibung auftauchen wird, j ist die imaginäre Einheit mit j2 = −1, m die Masse des beschriebenen Teilchens, V (x,t) das Potential und
schließlich ψ(x,t) die Wellenfunktion des Teilchens. Die Schrödinger-Gleichung (Schrödingergleichung) ist als Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit eine DGL wie in Abschnitt 1.3.1,
Gleichung 1.7 gefordert. Damit kann aus der Kenntnis von ψ(x,t0 ) zu einem Zeitpunkt t0 eindeutig auf die zeitliche Entwicklung von ψ(x,t) für alle t > t0 geschlossen werden. Leider ist
10 Obwohl ∂ 2~r
∂t 2
~
F
= ~a = m
eine Differentialgleichung 2. Ordnung in der Zeit ist, wird die Zustandsänderung durch
eine Differentialgleichung 1. Ordnung beschrieben. Der Zustand wird durch die Kombination aus Ort ~r und
Impuls ~p beschrieben werden. Im Impuls steckt die Geschwindigkeit, deren erste zeitliche Ableitung wieder
die Beschleunigung ~a ist. Damit kann die Änderung des Zustandes (~r,~p) eines Massepunktes durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit beschrieben werden.
10
1 Grundlagen der Quantenmechanik
die Schrödingergleichung mathematisch relativ hässlich und eine allgemeine analytische Lösung ist unmöglich. Auf den ersten Blick sieht die Differentialgleichung zwar ähnlich aus wie
eine Diffusionsgleichung (z.B. bei der Wärmeleitung), es ergeben sich aber komplett andere Lösungen durch das imaginäre j. Hier soll darauf hingewiesen werden, dass die Schrödingergleichung nicht für alle Teilchen gilt. Teilchen mit Ruhemasse Null, in relativistischen Geschwindigkeitbereichen oder mit speziellen anderen Eigenschaften (ganzzahliger Spin) erfordern andere Gleichungen. Alle diese Teilchen unterliegen jedoch quantenmechanischen Prinzipien, die
Quantenmechanik ist die allgemeinste bisher bekannte Theorie. So kann beispielsweise allgemein formuliert werden, dass alle physikalischen Systeme Wellen und Teilcheneigenschaften
zeigen können.
Netterweise taucht die Wellenfunktion nur linear auf, so dass wir beliebig Lösungen superponieren können:
Sind ψ1 (x,t)und ψ2 (x,t) Lösungen der Schrödingergleichung, dann auch ψ(x,t) = α1 ψ1 (x,t)+
α2 ψ2 (x,t). Wenn wir die Schrödingergleichung hierfür aufschreiben, so ergibt sich:
jh̄
∂ ψ(x,t)
∂ ψ1 (x,t)
∂ ψ2 (x,t)
= jh̄α1
+ jh̄α2
∂t
∂t
∂t
2
2
h̄ ∂
h̄2 ∂ 2
= α1 −
+V (x,t) ψ1 (x,t) + α2 −
+V (x,t) ψ2 (x,t)
2m ∂ x2
2m ∂ x2
h̄2 ∂ 2
+V (x,t) ψ(x,t)
=
−
2m ∂ x2
Da wir davon ausgegangen sind, dass jeweils ψ1 (x,t) und ψ2 (x,t) die Schrödingergleichung
erfüllen, sind die ersten und die letzten Summanden auf beiden Seiten jeweils gleich und damit
ist auch die gesamte Gleichung erfüllt. Die lineare Superposition von zwei Wellenfunktionen,
die die Schrödingergleichung lösen, ergeben zusammen auch wieder eine Lösung. Ein ganz
ähnliches Superpositionsprinzip gilt aufgrund der Linearität der Maxwell-Gleichungen in der
Elektrodynamik.
1.3.2 Die Wellenfunktion
Mit der Schrödingergleichung können wir eine Vorhersage über die zeitliche Entwicklung machen. Allerdings haben wir noch keine Aussage darüber, welche reale Größe wir mit derselbigen
beschreiben können. Dies bringt uns zum
Satz 1.5 (2. Postulat der Quantenmechanik)
Die Wellenfunktion ist nicht observabel, das heißt keine Messgröße. Ihr Absolutquadrat
ρ(x,t) = |ψ(x,t)|2 = ψ ∗ (x,t)ψ(x,t)
(1.9)
ist proportional zur Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens.
Erneut macht der Vergleich mit der Elektrodynamik den Gehalt dieser Aussagen deutlich.
Aus der Wellengleichung des elektrischen Feldes kann dessen zeitliche und räumliche Entwicklung berechnet werden. Die Intensität hängt in der Elektrodynamik vom Absolutquadrat
der Amplitude des elektrischen Feldes ab, genau wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von
der Amplitude der Wellenfunktion. Die Intensität gibt schließlich die Dichte der Photonen im
1.3 Die Schrödingergleichung
11
elektrischen Feld an (Auch für Photonen gilt ein Welle-Teilchen-Dualismus). Im Unterschied
zur Wellenfunktion kann man das elektrische Feld, aus dem sich die Intensität ableitet, jedoch
direkt messen.