5th sheet

Quantenmechanik II – Advanced Topics in Quantum Mechanics
A. Riefer , H. Aldahhak, W.G. Schmidt ([email protected], [email protected])
Übungsblatt 5 – Exercise 5
1. Teilchen im elektromagnetischen Feld (3 Punkte)
A particle in an electromagnetic field
Die Kraft auf ein klassisches Teilchen im elektromagnetischen Feld ist gegeben
durch The force acting on a classical particle moving through the electromagnetic
field is given by
~ + q ~v × B
~
F~ = q E
(1)
c
mit dem elektrischen und magnetischen Feld with the electric and magnetic field:
~
~ = −∇φ − 1 ∂ A
E
c ∂t
(2)
~ =∇×A
~
B
(3)
a) Zeigen Sie, dass das Potential Show that the potential
q~
V = − A~
v + qφ
c
(4)
zu der Kraft (1) führt leads to the force (1).
b) Stellen Sie die Hamiltonfunktion auf und berechnen Sie damit die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen Write down the Hamilton-function and calculate
the equations of motion.
2. Geladenes Teilchen in magnetischen Feld (4 Punkte)
Charged particle in a magnetic field
Ein klassisches geladenes Teilchen bewegt sich durch das konstante Magnetfeld
~ =
A classical charged particle is moving through the constant magnetic field B
(0, 0, B)
a) Stellen Sie die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf. Write down the Hamilton-function and the equations of motion.
b) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen. Solve the equations of motion.
Zum Überprüfen der Lösung To check the solution:
ẍ − ω ẏ = 0
(5)
ÿ + ω ẋ = 0
(6)
z̈ = 0
(7)
1
3. Hamiltonoperator und Magnetfeld (3 Punkte)
Hamilton operator and magnetic field
a) Zeigen Sie, dass aus dem Hamiltonoperator Gl. (2.10) im Skript der Hamiltonoperator zur Berechnung des Zeeman-Effektes Gl. 2.31 folgt, falls quadra~ =
tische Beiträge in B vernachlässigt werden. Hinweise: Verwenden Sie A
B
2 (−y, x, 0), die Coulomb-Eichung sowie Rechenregeln bzgl. des Nabla-Operators.
Show that for the Hamilton operator eq. (2.10) in the lecture notes the
Hamilton operator for calculating the Zeeman effect eq. (2.31) follows, if
~ = B (−y, x, 0), the
contributions quadratic in B are neglected. Hints: Use A
2
Coulomb gauge, and calculation rules concerning the Nabla operator.
b) Zeigen Sie, dass für den Hamiltonoperator eines freien Teilchens im konstanten
Magnetfeld [d.h. ϕ = 0 in Gl. (2.10)] gilt: Show that the following applies
for the Hamilton operator of a free particle in a constant magnetic field [i.e.
ϕ = 0 in eq. (2.10)]:
p̂2
Ĥ = Ĥ0 + z − ωZ BLz .
(8)
2m
Ĥ0 ist der Hamiltonoperator eines 2-dimensionalen Harmonischen Oszillators.
Bestimmen Sie zusätzlich die Frequenz des Harmonischen Oszillators sowie
ωZ . Ĥ0 is the Hamilton operator of a 2-dimensional Harmonic Oscillator.
Additionally determine the frequency of the Harmonic Oscillator and also
ωZ .
2