Lösung der Präsenzaufgaben

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Prof. U. Mosel, Dr. H. van Hees
Sommersemester 2009
Übungen zur Quantenmechanik I
Blatt 11, Lösungen zur Präsenzübung
Präsenzaufgabe 15 (Teilchen im homogenen Magnetfeld)
(a) Es gilt
~ = ~ej ǫjkl ∂k Al = ~ez ∂x Ay = B~ez ,
rot A
(1)
und das ist gerade das gegebene homogene Magnetfeld in z-Richtung.
(b) Der Hamiltonoperator lautet
"
#
q2 B 2
1
2qB
x̂p̂y + p̂2z + 2 x̂2 .
Ĥ =
p̂2x + p̂2y + p̂2z −
2µ
c
c
(2)
~ 2 von der Vertauschbarkeit
Dabei haben wir beim Ausmultiplizieren des Ausdrucks (p~ˆ − e/cA)
der Operatoren p̂y und x̂ Gebrauch gemacht.
Zur Lösung des Energieeigenwertproblems müssen wir zunächst einen vollständigen Satz kompatibler Observabler finden, nach deren Eigenwerten wir die Energieeigenvektoren klassifizieren
können. Da ŷ und ẑ im Hamiltonoperator nicht auftreten, vertauscht der Hamiltonoperator mit
p̂y und p̂z . Da weiter diese Operatoren auch untereinander vertauschen, können wir also als vollständigen Satz Ĥ, p̂y und p̂z wählen. Den dazugehörigen Eigenket bezeichnen wir mit |E, py , pz i.
Die zu lösende Energieeigenwertgleichung lautet also
Ĥ |E, py , pz i = E |E, py , pz i .
(3)
Den Hamiltonoperator (2) auf den Eigenket angewandt, liefert
"
#
q2B 2
2qBpy
1
x̂ + 2 x̂2 |E, py , pz i .
p2z + p2y + p̂2x −
Ĥ |E, py , pz i =
2µ
c
c
(4)
Formt man den Ausdruck in der eckigen Klammer ein wenig um, erhält man
"
#
1 2 µω 2
p2z
+
p̂ +
(x̂ − x0 )2 |E, py , pz i .
Ĥ |E, py , pz i =
2µ 2µ x
2
(5)
Dabei haben wir zur Abkürzung
ω=
|qB|
,
µc
x0 =
c
py
qB
(6)
gesetzt. Das ist bis auf den konstanten Term p2z /(2µ), d.h. die kinetische Energie der freien Bewegung in z-Richtung, der Hamiltonoperator eines Teilchens, das entlang der x-Achse um die
Ruhelage x0 schwingt. Die Eigenwerte dieses verbleibenden Operators sind also die Energieeigenwerte eines harmonischen Oszillators. Die Energieeigenwerte des Teilchens sind also
E = En =
~ω
p2z
+
(2n + 1),
2µ
2
mit
n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}.
(7)
Die Energieeigenwerte hängen nicht von py ab, d.h. der Zustand zu gegebener Energie En ist
unendlichfach entartet.
Bemerkungen
Die Wellenfunktion zum Energieeigenwert n lautet
"
ξ2
i
ψn,py ,pz (~r) = h~r | En , py , pz i = N exp (ypy + zpz ) Hn (ξ) exp −
~
2
mit
ξ=
r
#
mω
(x − x0 ).
~
(8)
(9)
N ist eine Normierungskonstante.
(c) Die kanonischen Kommutatorrelationen für Orts- und Impulsoperatoren sind
[x̂j , pˆk ] = i~δjk 1.
(10)
Die Kommutatorrelationen mit Ĥ lassen sich daraus mit Hilfe der allgemeinen Formel
h
i
h
i
h
Â, B̂ Ĉ = Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Ĉ
berechnen. Damit finden wir:
i
(11)
i
1 1 h
1
x̂, p̂2x = p̂x ,
i~ 2µ
µ
1 1
1
qB
2qB
v̂y =
p̂y x̂ = p̂y −
x̂,
ŷ, p̂2y −
i~ 2µ
c
µ
c
1 1 h 2i 1
ẑ, p̂z = p̂z .
v̂z =
i~ 2µ
µ
(12)
1 ˆ q~
~vˆ =
~− A .
p
µ
c
(13)
v̂x =
Allgemein gilt
Dies ist auch aus der klassischen Hamiltonschen Mechanik bekannt: Die kanonischen Impulse
sind bei Anwesenheit von Magnetfeldern nicht identisch mit dem mechanischen Impuls.
(d) Ein Zustand ψ(~x) erhält unter (statischen) Eichtransformationen
~ ′ (~r) = A(~
~ r ) + ∇χ(~
~ r)
A
(14)
einen Phasenfaktor, d.h. nach Umeichen des Vektorpotentials für das Magnetfeld, ist die Wellenfunktion
iq
χ(~r)
(15)
ψ ′ (~r) = ψ(~r) exp
~c
zu verwenden. Wenden wir also die eichtransformierte Geschwindigkeit (13) auf die eichtransformierte Wellenfunktion an, erhalten wir
iq
1
~ + ∇χ)
~
~ − q (A
ψ(~r) exp
χ(~r)
~vˆ′ ψ(~r) =
−i~∇
µ
c
~c
1
~ r ) exp iq χ(~r) = [~vˆψ(~r)] exp iq χ(~r) .
~ r ) − q Aψ(~
−i~∇ψ(~
=
µ
c
~c
~c
(16)
Damit folgt für den Erwartungswert
′
~v
ψ′
=
=
Z
ZR
d rψ (~r)~vˆ′ ψ ′ (~r) =
3
3
R3
′∗
Z
iq
iq
d r exp − χ(~r) ψ ∗ (~r)~vˆψ(~r) exp
χ(~r)
3
~c
~c
R
d rψ (~r)~vˆψ(~r) = h~v iψ .
3
3
(17)
∗
Der Erwartungswert der Geschwindigkeit des Teilchens ist also eichunabhängig wie es für eine
observable Größe sein muß.
Homepage zu Vorlesung und Übungen:
http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/qm1-ss09/
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