11. Aufgabenblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie
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Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
11. Aufgabenblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe in der 49. Kalenderwoche in den Übungen.
Aufgabe 41 Seien X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen auf (Ω, F, P) mit
1
1
P(Xn = 1) = P(Xn = −1) = 2n
, P(Xn = 0) = 1 − .
n
def
Wir definieren rekursiv einen Prozess Yn , n ≥ 1, wie folgt: Seien Y1 = X1 und für n ≥ 2
def
Yn = Xn 1{Yn−1 =0} + nYn−1 |Xn |1{Yn−1 6=0} .
def
Setze Fn = σ(Y1 , . . . , Yn ). Zeigen Sie:
(a) Yn ist ein Martingal bezüglich Fn .
(b) Yn konvergiert in Wahrscheinlichkeit.
P-fast sicher.
supn |Yn | < ∞ P-fast sicher und P(Yn = a unendlich oft) = 1 für a = −1, 0, 1.
(c) Yn konvergiert nicht
(d)
Aufgabe 42 Sei {Fn }n∈N eine Folge absteigend geschachtelter Teil-σ-Algebren auf (Ω, F, P),
def
d.h. Fn+1 ⊂ Fn für alle n ∈ N. Setze F∞ = ∩n∈N Fn . Beweisen Sie:
Gilt Yn −→ Y∞ P-fast sicher für n → ∞ und |Yn | ≤ Z P-fast sicher für ein Z ∈ L1 ,
dann folgt
E(Yn|Fn) −→ E(Y∞|F∞) P-fast sicher für n → ∞.
Aufgabe 43 Sei {Mn }n∈N0 ein Martingal bezüglich der Filtrierung {Fn }n∈N0 auf (Ω, F, P).
Es gelte |Mn − Mn−1 | ≤ an für eine nicht-negative Folge (an ) reeller Zahlen. Zeigen Sie,
dass für jedes n ∈ N0 und jedes c ≥ 0 gilt:
c2
P 0≤k≤n
max (Mk − M0 ) ≥ c ≤ exp − Pn
.
2 i=1 a2i
Lösungshinweis:
def
• Ohne Einschränkung M0 = 0. Beweisen Sie, dass für λ ≥ 0, Yn = Mn − Mn−1 ,
E (exp(λMn)) = E (exp(λMn−1)E (exp(λYn)|Fn−1)) .
• Benutzen Sie die Konvexität von x 7→ exp(λx), um zu zeigen dass P-fast sicher
E (exp(λYn)|Fn−1) ≤ cosh(λan) ≤ exp (λan)2/2 .
• Zeigen Sie mit Induktion nach n:
E (exp(λMn)) ≤ exp
n
1 2X 2
λ
ai
2
!
.
i=1
• Wenden Sie Aufgabe 40 an und optimieren Sie in λ (für feste n und c).
