T 2 -T 1

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Besetzungswahrscheinlichkeiten der Energiezustände:
W1 , W2 , W3 , 
g1 , g2 , g3 , 
Energiezustände:
relative Häufigkeiten der Wi :
Boltzmann-Verteilung:
 
w i  g i exp 
Wi
kT
Beweis: Finde Konfiguration mit größter statistischer Wahrscheinlichkeit  Literatur
Beispiel: Barometrische Höhenformel
i h
Wi  Vh   mgh

gi  const .

n h   n 0 exp  mkgTh

wi  nh 

ρv  
d3N
1
N dvx dv y dvz

 exp 
dN
dv x, y,z
m v 2x
2 kT

 exp 

m v2
2 kT

 exp   exp  
m v 2y
2 kT
m v 2z
2 kT
dN

d|v|
v 2x, y,z
GaußVerteilung
 v2  Gaußfunktion
0
v x, y,z
vx , vy , vz unkorreliert
0

ρ|v| 

v2
1 dN

N d| v |


|v|

2
m v2
 v exp  2 kT

Geschwindigkeitsverteilung f?r Heliumgas
77 K
v<v2>
273 K
373 K
1000 K
v [m/s]
c) Definition: Adiabatenindex
f 2
γκ

CV
f
Cp
Messung von   Messung von f ( Molekülstruktur des Gases)
einatomig
f=3
κ = 5/3
( Translation )
zweiatomig
f=3
( Translation )
+ 2 ( Rotation )
dreiatomig
f=3
( Translation )
+ 3 ( Rotation )
κ = 7/5
κ = 8/6
Schwingungsmoden  erst bei sehr großen T ( Quantenmechanik )
Bemerkung: Spezifische Wärme von Festkörpern
Schwingungen der Gitteratome: Phononen
Mittlere Energie einer Schwingungsmode:
D
E  T  V  const .
T  12 m x 2 V  12 D x 2
m
x
Kristallgitter

T  mω A  m A  DA  V
1
4
2
2
1
4
D
m
2
1
4
2
3 Schwingungsrichtungen  f  3 (kinetisch)  3 (potentiell)  6
 Regel von Dulong Petit: CV  f2 R  3R versagt für T  0K
 Quantenmechanik
6.2.3. Wärmekraftmaschinen
Wärmekraftmaschine:
W = Volumenarbeit
Wirkungsgrad:
T2  T1
T1
Q2
Q1
Reservoir 2
(z.B. Verbrennungsgemisch)
Kältemaschine:
Reservoir 1
(z.B. Auspuffgas)
W
η
Q2
W (mechanisch, elektrisch)
T1  T2
T2
Q1
Q2
η = Q2/W
≤ T2/(T2-T1)
Reservoir 1
Reservoir 2
Kühlraum .............................. Wärmetauscher (Kühlschrank)
Außenraum ............................... Heizsystem (Wärmepumpe)
Ideale Maschine (  max)  Carnotscher Kreisprozess
p
W   p dV  eingeschlossene Fläche
Theorie-VL 
T2  T1
η
1
T2
W
V
 Tafelrechnung
Beispiel: Heißluftmotor ( Stirling-Maschine )
90° Phasendifferenz
p
Q1
1
Q4
T2
ΔW
4
Q3
Kühlung
Kolben B
T1
Zwischenspeicherung
in Kolben A
T1
3
V2
V1
T1
2
Q2
V
Kolben A
T2  T1
Heizung
Schritt
A
B
23
34
41
12
runter
unten
hoch
oben
oben
runter
unten
hoch
Typ
isochor
isotherm
isochor
isotherm
pS
p
Dampfdruckkurve
TC
T2
 Λ 

 exp  
 RT
PC
T1
V
T1
T2 TC
T
Koexistenz Dampf / Flüssigkeit
PC  kritischer Punkt
TC  kritische Temperatur
Λ  Verdampfungswärme
pro Mol
Van-der-Waals-Gleichung:
p
 ideales Gas
Überhitzte
Flüssigkeit
kritischer
Punkt
Übersättigter
Dampf
identische
Flächen
ΔW   p dV  0
Koexistenz Dampf / Flüssigkeit
V
Anwendung: Joule-Thomson-Effekt (adiabatische Expansion)
p1
Drosselventil
V1
V2
dT
Beispiel: Linde-Verfahren ( Luftverflüssigung )
p2
εtot
.36
.86
.92
1.19
1.27
1.52
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