Quantenmechanik I

Prof. Dr. G. M. Pastor
Dr. Waldemar Töws
Gunnar Stegmann
Sergej Riemer
Tobias Müller
Universität Kassel
Quantenmechanik I
WS 2016/17
Quantenmechanik I
Übungsblatt 10
Abgabe spätestens am Donnerstag, den 12. Jan. 2017 am Anfang der Vorlesung.
1)
10 Punkte
Betrachten Sie ein Teilchen mit der Drehimpulsquantenzahl j = 1.
i) Stellen Sie die Operatoren Jˆ2 , Jˆx , Jˆy , Jˆz als Matrizen dar. Benutzen Sie dazu
die Basis B = {|j = 1, mz = −1i, |j = 1, mz = 0i, |j = 1, mz = 1i} aus
gemeinsamen Eigenzuständen zu Jˆ2 und Jˆz . Wichtig ist hier jeweils eine kurze
Begründung Ihrer Schritte, da die Form der Matrizen bekannt ist.
ii) Finden Sie die Eigenwerte mx von Jˆx und stellen Sie die zugehörigen Eigenzustände |j = 1, mx i in der Basis B dar.
iii) Nehmen Sie an, dass ein Experimentator einen Zustand mit definiertem mx = 1
vorbereitet hat, d.h. |j = 1, mx = 1i. Anschließend misst der Experimentator die z-Komponente mz des Drehimpulses. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für die Messung der Werte mz = −1, mz = 0 und mz = 1. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.
iv) Wiederholen Sie die Aufgabenstellung aus Teilaufgabe iii) für mx = 0.
2)
12 Punkte
Ein Vektoroperator ~vˆ = (v̂1 , v̂2 , v̂3 ) = (v̂x , v̂y , v̂z ) ist durch die folgende Vertauschungsregel
charakterisiert:
i
h
X
εqjk v̂k für q = x, y, z.
L̂q , v̂j = i~
k
~ˆ ist der Drehimpulsoperator und εqjk ist das sogenannte Levi-Civita-Symbol, das
L
wie folgt definiert ist:


+1, falls (q, j, k) eine zyklische Permutation von (1, 2, 3) ist,
εqjk = −1, falls (q, j, k) eine zyklische Permutation von (2, 1, 3) ist,


0,
wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.
~ˆ = L̂x , L̂y , L̂z selbst
i) Verifizieren Sie, dass ~r = (x, y, z), p~ˆ = (p̂x , p̂y , p̂z ) und L
Vektoroperatoren sind.
h
i
2
ii) Zeigen Sie, dass L̂q , v̂ = 0 ist, wobei v̂ 2 = v̂x2 + v̂y2 + v̂z2 ist.
h
i h
i
2
2
iii) Schließen Sie daraus, dass L̂q , r̂ = L̂q , p̂ = 0 ist.
iv) Sei Ĥ der Hamiltonoperator eines Elektrons in einemh sphärisch
symmetrischen
i
~ ist also
Potential V (r). Zeigen Sie mit Hilfe von (iii), dass L̂q , Ĥ = 0 ist. L
eine Erhaltungsgrösse.
v) Schließen Sie daraus, dass die stationären Zustände die Form |nlmi haben,
wobei L̂2 |nlmi = ~2 l (l + 1) |nlmi und L̂z |nlmi = ~m|nlmi. Zeigen Sie, dass
die Eigenenergien Enlm von m unabhängig sind, dass also Ĥ|nlmi = Enl |nlmi
gilt.
vi) Wie gross ist die Entartung des Energieniveaus mit Drehimpuls l?
vii) Nun betrachten Sie ein Elektron, das sich in einem sphärisch symmetrischen
Potential V (r), wie in der Teilaufgabe iv), und zusätzlich in einem konstanten
~ = (0, 0, Bz ) mit Bz > 0 befindet. Um die Wechselwirkung mit
Magnetfeld B
~ zu berücksichtigen, wird der Hamiltonoperator Ĥ um den
dem Magnetfeld B
additiven Anteil
~ ·L
~ˆ
Ĥint = −γ B
erweitert. Dabei ist γ das gyromagnetische Verhältnis. Wie ändern sich in
diesem Fall die Eigenzustände, die Eigenenergien und der Entartungsgrad?
3)
6 Punkte
Zeigen Sie für die Paulimatrizen σ1 , σ2 , und σ3 , dass die folgenden Gleichungen
gültig sind:
i) σk2 = 1,
ii) σi σj = δij 1 + i
Symbol εijk .
4)
10 Punkte
P3
k=1 εijk
σk , mit dem Kronecker-Delta δij und dem Levi-Civita-
Kohärenter Zustand
Betrachten Sie einen kohärenten Zustand Ψ in einem eindimensionalen harmonischen
Oszillator, der zum Zeitpunkt t = 0 gegeben ist durch
i p x (x − x)2
1
Exp
−
,
Ψ(x, t = 0) =
(2πσ 2 )1/4
~
4 σ2
wobei p, x ∈ R.
i) Zeigen Sie, dass der Zustand Ψ(x, t = 0) normiert ist.
ii) Zeigen Sie, dass für die Erwartungswerte hx̂i = x, hp̂i = p, hx̂2 i = x2 + σ 2 und
~2
hp̂2 i = p2 + 4σ
2 gilt.
iii) Zeigen Sie, dass das Unschärfeprodukt für Ψ(x, t = 0) minimal ist, d.h. ∆x∆p =
~/2.
Nun betrachten Sie den Fall für t > 0.
iv) Benutzen Sie die Heisenbergdarstellung für den Ortsoperator xH (t) und den
Impulsoperator pH (t) für den Fall eines eindimensionalen harmonischen Oszillators, um die Erwartungswerte hx̂i(t) und hx̂2 i(t) als Funktion von der Zeit zu
bestimmen. Zeigen Sie dann,
q dass die Breite von Ψ(x, t) minimal und zeitunabhängig ist, d.h ∆x(t) =
~
.
2mω
v) Zeigen Sie, dass das Unschärfeprodukt ∆x(t)∆p(t) für alle Zeitpunkte t minimal bleibt.
5)
8 Punkte
Bonusaufgabe
Betrachten Sie die kontinuierliche Symmetrietransformation
|Ψ0 i = D̂(s)|Ψi
mit dem linearen Operator D̂, wobei s ∈ R. Die Variable s könnte zum Beispiel die
Zeit t sein (Verschiebung in der Zeit), eine Ortskoordinate a (Translation um a in
die Richtung ~a/a) oder ein Winkel α (Drehung um den Winkel α bezüglich einer
Achse n̂, wobei n̂ ein Einheitsvektor ist). Für den Operator D̂(s) gilt
D̂(0) = 1 und D̂(s1 + s2 ) = D̂(s1 ) D̂(s2 ).
Für die infinitesimale Transformation gilt
D̂(ds) = 1 −
i
ds Ĝ + O(ds2 ),
~
wobei der hermitesche Operator Ĝ als Erzeuger der Symmetrieoperation bezeichnet
wird. Wir beschränken uns auf den Fall, in dem Ĝ unabhängig von s ist.
i) Benutzen Sie die obigen Informationen, um die Differentialgleichung
i~
dD̂(s)
= Ĝ D̂(s)
ds
(1)
für die Bestimmung des Operators D̂ (s) aufzustellen.
ii) Lösen Sie die Differentialgleichung (1) unter der Bedingung D̂(0) = 1.
iii) Zeigen Sie, dass D̂(s) genau dann unitär ist, wenn G hermitesch ist.
iv) Der Hamiltonoperator Ĥ ist ein Erzeuger für eine Verschiebung in der Zeit,
der Impulsoperator p~ ist ein Erzeuger für eine Translation und (zum Beispiel)
~ˆ ist ein Erzeuger für eine Drehung um die Achse
der Drehimpulsoperator L
n̂. Geben Sie für diese drei Fälle die entsprechenden Operatoren D̂ für ein
endliches s an, wobei je nach Situation s = t eine Zeit, s = a eine Länge oder
s = α ein Winkel ist.