(10 Punkte) a) Wie lautet die Kontinuitätsgleichung der

Aufgabe 1 T HEORETISCHE F RAGEN
(10 Punkte)
a) Wie lautet die Kontinuitätsgleichung der Wahrscheinlichkeit? Welche physikalische Aussage hat diese Gleichung?
b) Geben Sie jeweils die Orts- und Impulsdarstellung für den Orts- und Impulsoperator an.
c) Welche Erhaltungsgrößen folgen aus der räumlichen bzw. zeitlichen Translationsinvarianz.
d) Geben Sie die Erzeuger infinitesimaler Translationen bzw. Rotationen an.
e) Zeigen Sie, dass der Operator Ĵ = Ĵ1 + Ĵ2 ein Drehimpulsoperator ist, wobei Sie
voraussetzen dürfen, dass Ĵ1 , Ĵ2 Drehimpulsoperatoren sind und [Ĵ1 , Ĵ2 ] = 0.
(8 Punkte)
Aufgabe 2 M ESSPROZESS
Seien  und B̂ die Operatoren, die zu den Observablen α und β korrespondieren, mit
Â|ϕi i = ai |ϕi i und B̂|ψi i = bi |ψi i (i=1,2). |ϕi i und |ψi i seien orthonormierte Eigenzustände. Weiter gelte:
|ϕ1 i = N1 [ 2 |ψ1 i + 3 |ψ2 i ],
|ϕ2 i = N2 [ 3 |ψ1 i − 2 |ψ2 i ].
a) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N1 und N2 !
b) Die Messung der Observablen α liefere nun das Resultat a1 . Daraufhin erfolgt eine
Messung der Observablen β. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei der
Messung von β die Ergebnisse b1 bzw. b2 ?
c) Schließlich erfolgt eine erneute Messung der Observablen α. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Messung erneut der Wert a1 gemessen
wird.
Aufgabe 3 Z EITENTWICKLUNG
(9 Punkte)
Ein quantenmechanisches System wird durch den zeitunabhängigen Hamiltonoperator
Ĥ beschrieben, dessen zwei orthonormierte Eigenzustände |ϕ1 i und |ϕ2 i sind. Es gilt
also Ĥ |ϕi i = Ei |ϕi i (i=1,2).
Das System sei nun zur Zeit t = 0 im Zustand |ψi (0) = √12 (|ϕ1 i + |ϕ2 i).
a) Bestimmen Sie den Zustand des Systems |ψi (t) zur Zeit t!
b) Gegeben sei ein Operator Â, dessen zwei orthonormierte Eigenzustände
1
|α1 i = √ (|ϕ1 i + |ϕ2 i),
2
1
|α2 i = √ (|ϕ1 i − |ϕ2 i)
2
sind. Es gilt also  |αi i = ai |αi i (i = 1, 2). Berechnen Sie den Erwartungswert
des Operators hÂi(t) im Zustand |ψi (t)! (Hinweis: Drücken Sie |ψi (t) durch Eigenzuständen von  aus!)
Aufgabe 4 H ARMONISCHER O SZILLATOR
(13 Punkte)
Der Hamiltonoperator des (eindimensionalen) harmonischen Oszillators ist durch Ĥ =
p
p̂2
mω 2 x̂2
√ i
gegeben. Zusätzlich definieren wir den Operator: â = mω
p̂ .
2m +
2
2~ x̂ +
2mω~
a) Zeigen Sie, dass die Relation [â, ↠] = 1 gilt!
b) Zeigen Sie, dass der Hamiltonoperator in der Gestalt Ĥ = ~ω(↠â + 1/2) geschrieben werden kann!
c) Zeigen mit Hilfe des Ehrenfest-Theorems, dass dhx̂i/dt = hp̂i/m gilt!
d) Berechnen Sie die zweite Ableitung d2 hx̂i/dt2 , und bestimmen Sie die Zeitabhängigkeit des Ortserwartungswertes hx̂i(t)!
e) Bestimmen Sie mit Hilfe der Wirkung des Absteigeoperators â auf den Grundzustand |0i die normierte Wellenfunktion ϕ0 (x) im Grundzustand!.
Aufgabe 5 D REHIMPULS
(8 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass wenn ein Operator mit zwei Komponenten eines Drehimpulsoperators vertauscht, er auch mit der dritten vertauscht!
b) Zeigen Sie, dass die Erwartungswerte von Jˆx und Jˆy in einem Eigenzustand von
Jˆz Null sind!
c) Wie wirkt die z-Komponente des Drehimpulsoperators Jˆz auf die Wellenfunktion
Ψ(r) = aeαr ? (a and α sind Konstanten, r ist der Betrag des Ortvektors.)
Aufgabe 6 P OTENTIALTOPF
(10 Punkte)
Ein Teilchen bewegt sich in einer Dimension im Potential V (x) = V1 , wenn 0 < x < a,
V (x) = V2 > V1 , wenn a < x < b und V (x) = ∞ sonst. Finden Sie die unnormierten
Wellenfunktionen für den Fall E > V2 ! Formulieren Sie die Bestimmungsgleichung für
die Energieeigenwerte!
Aufgabe 7 I SING -M ODEL
(9 Punkte)
Betrachten Sie ein aus zwei Spins bestehendes System, das durch den Hamilton-Operator
Ĥ = J σ̂1x ⊗ σ̂2x + h1 σ̂1z ⊗ Iˆ2 + h2 Iˆ1 ⊗ σ̂2z
beschrieben wird, wobei J, h1 , h2 Konstanten, σ̂iz,x die Pauli-Operatoren über dem Zustandsraum des i-ten Spins und Iˆi die Identitätsoperatoren (i = 1, 2) sind. Die PauliOperatoren wirken auf die zwei Eigenzustände |±i von σ̂ z wie folgt: σ̂ z |±i = ±|±i und
σ̂ x |±i = |∓i. Bestimmen Sie Energieeigenwerte des Systems!
(Hinweis: Benutzen Sie die Basis {| + +i,| − −i,| + −i,| − +i}!)