Theoretische Physik II - Quantenmechanik (SS 2017)

Theoretische Physik II - Quantenmechanik
(SS 2017)
Übung 6
22.05.2017
Das Übungsblatt wird in der Woche vom 29. Mai abgegeben.
Aufgabe 20
(Aufeinanderfolgende Messungen)
(2 + 4 + 4 =10 Punkte)
Ein Operator Â, der die Observable A repräsentiert, hat zwei normierte Eigenzustände |a1 i und
|a2 i mit den Eigenwerten a1 bzw. a2 . Der Operator B̂, der die Observable B repräsentiert, hat
zwei normierte Eigenzustände |b1 i und |b2 i mit den Eigenwerten b1 bzw. b2 . Die Eigenzustände
hängen folgendermaßen zusammen:
1
|b1 i = (3|a1 i + 4|a2 i),
5
1
|b2 i = (4|a1 i − 3|a2 i).
5
(a) Die Observable A wird gemessen, dabei erhält man den Wert a1 . In welchem Zustand
befindet sich das System (unmittelbar) nach dieser Messung?
(b) Nun wird B gemessen. Was sind die möglichen Ergebnisse, und welche Wahrscheinlichkeiten gehören dazu?
(c) Direkt nach der Messung von B wird A noch einmal gemessen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a1 zu erhalten? Wie sähe Ihre Antwort aus, wenn ich Ihnen das Ergebnis
der Messung von B mitgeteilt hätte? Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, wenn wir B
nicht gemessen hätten?
Aufgabe 21
Punkte)
(Zeitentwicklung von Erwartungswerten)
Der Hamilton-Operator eines bestimmten Systems
durch die Matrix

1 0

H = h̄ω  0 2
0 0
(7 + 4 + 4 = 15
mit drei Energieniveaus wird dargestellt

0
0 
.
2
Die Observablen A und B werden durch die Matrizen




0 1 0
2 0 0



A = λ
 1 0 0  undB = µ  0 0 1 
0 0 2
0 1 0
mit den reellen Zahlen λ und µ dargestellt.
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren von Ĥ, Â und B̂.
(b) Das System befindet sich anfangs im Zustand
|Ψ(0)i = (c1 , c2 , c3 )t
mit |c1 |2 + |c2 |2 + |c3 |2 = 1. Bestimmen Sie die Erwartungswerte von Ĥ, Â und B̂ zum
Zeitpunkt t = 0.
(c) Welche Werte erhalten Sie, wenn Sie die Energie des Systems zu einem Zeitpunkt t messen
und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit? Was ergibt sich für die Messung der Observablen
A und B?
Aufgabe 22
(Zeitentwicklung von Erwartungswerten)
(13 Punkte)
Die zeitliche Entwicklung einer Observablen wird in der Quantenmechanik durch die Gleichung
i
∂ Q̂
d
hQ̂i = h[Ĥ, Q̂]i + h
i
dt
h̄
∂t
beschrieben. Was ergibt sich daraus für die zeitliche Entwicklung der Observablen a) Q = 1, b)
Q = H, c) Q = x und d) Q = p? Interpretieren Sie in jedem dieser Fälle das Ergebnis.
Aufgabe 23
(Unschärfe-Relationen)
(6 + 6 = 12 Punkte)
(a) Beweisen Sie, dass Ort und Energie der Unschärferelation
∆x ∆H ≥
h̄
|hp̂i|
2m
genügt. Diskutieren Sie das Ergebnis sowohl für stationäre als auch für nicht-stationäre
Zustände.
(b) In einer interessanten Fassung der Energie-Zeit-Unschärferelation gilt ∆T = τ /π, wobei
τ die Zeit angibt, in der ein System aus dem Zustand Ψ(t) in einen dazu orthogonalen
Zustand übergeht. Prüfen Sie diese Aussage mithilfe einer Wellenfunktion nach, die Sie anfangs als eine gleichmäßige Überlagerung von zwei orthonormalen stationären Zuständen
eines beliebigen Hamilton-Operators schreiben können,
√
|Ψi(0) = 1/ 2(|φ1 i + |φ2 i).