Hausübungen zur Einführung in die Quantenmechanik und Statistik

Prof. Dr. E. Epelbaum
Sommersemester 2015
Hausübungen zur
Einführung in die Quantenmechanik und Statistik
Blatt 9
Abgabe bis Freitag, den 19.06.2015, um 12 Uhr, in der
Vorlesung oder im Briefkasten vor den Fahrstühlen NB 6/Süd
Nur ein Name pro Bearbeitung. Bitte heften Sie die Blätter zu unterschiedlichen Aufgaben nicht
zusammen. Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und die Nummer der Übungsgruppe, an
der Sie teilnehmen.
9.1
Zustandsraum endlicher Dimension (6 × 2 Punkte)
Betrachten Sie ein physikalisches System, das durch einen dreidimensionalen Zustandsraum
vollständig charakterisiert wird. Seien |Φ1 i, |Φ2 i und |Φ3 i beliebige Zustandsvektoren, die eine
orthonormierte Basis in diesem Hilbertraum bilden. Seien der Hamiltonoperator H sowie zwei
Observablen A und B in der erwähnten Basis durch die folgenden Matrizen gegeben:

1

0
H = ~ω
0

0
0
−1 0  ,
0 −1

1

0
A=a
0
0
0
1

0
1 ,
0

0

1
B=b
0
1
0
0

0
0 .
1
Die Konstanten ω , a, b sind in der obigen Denitionen reelle und positive Zahlen. Beachten Sie,
dass die Matrizen H und A vertauschbar sind, während die Matrix B mit keiner von beiden
kommutiert.
Das System bende sich zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand
1
1
1
|Ψi = √ |Φ1 i + |Φ2 i + |Φ3 i,
2
2
2
wobei |Ψi ein normierter Vektor aus dem Zustandsraum ist.
(a) Sind die angegebenen Operatoren alle hermitesch? Finden Sie eine Basis, in der H und
A diagonal sind. Dies ist immer möglich, denn wie schon erwähnt kommutieren beide
Matrizen miteinander.
(b) Betrachten Sie eine Messung der Energie des Systems zum Zeitpunkt t = 0. Beschreiben
Sie, welche Messergebnisse sich mit welchen Wahrscheinlichkeiten ergeben können. Bestimmen Sie anschlieÿend den Erwartungswert und die Unschärfe der Energie.
(c) Betrachten Sie jetzt die Messung der Observable A zum Zeitpunkt t = 0. Welche Ergebnisse und mit welchen Wahrscheinlichkeiten würde man erwarten? Bestimmen Sie den
Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung.
(d) Finden Sie den Ausdruck für den Zustandvektor |Ψτ i, der das betrachtete System zu
einem beliebigen Zeitpunkt t = τ beschreibt.
(e) Berechnen Sie die Erwartungswerte der Observablen A und B als Funktionen der Zeit.
Was kann man hier feststellen?
1
(f) Welche Resultate erhält man, wenn man den Messvorgang für Observable A bzw. B zur
Zeit τ durchführt? Wie kann man das deuten?
9.2
Dichtematrix eines Zwei-Niveau-Systems (4 Punkte)
Der Hamiltonoperator Ĥ eines Zwei-Zustand-Systems sei in der Basis der Eigenzustände {|a1 i, |a2 i}
zu einer Observable A durch
Ĥ = ~ω
0
1
1
0
,
ω>0
gegeben. Sei das System ein statistisches Gemisch, das zum Zeitpunkt t = 0 durch die folgende
Dichtematrix
1
ρ̂(0) =
4
0
0
3
4
beschrieben wird. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung von A zu einem
Zeitpunkt t > 0 den Messwert a1 zu nden?
2