Übungszettel 11 - Hilbert-Schmidt, Magnetfelder und

Übungszettel 11
Quantenmechanik - SoSe 2011
Übungszettel 11 - Hilbert-Schmidt, Magnetfelder und
Gauÿ im harmonischen Oszillator
(Abgabetermin: 30.06.2011)
Aufgabe 1 - Das Hilbert-Schmidt Skalarprodukt (24 Punkte)
(a) Betrachte den reellen Vektorraum der hermiteschen 2 × 2-Matrizen H2 . Zeige, dass auf diesem Vektorraum
die Abbildung h·, ·i : H2 × H2 7→ C welche für alle Â, B̂ ∈ H2 über
D
E
Â, B̂ = Tr † B̂
gegeben ist ein unitäres Skalarprodukt (Antilinearität im ersten Argument) deniert. Dieses Skalaprodukt wird auch Hilbert-Schmidt Skalarprodukt genannt. Schreibe den Erwartungswert einer Dichtematrix
ρ̂ bezüglich einer Observablen Ĉ ∈ H2 als Hilbert-Schmidt Skalarprodukt.
Hinweis: Benutze die in Aufgabe 1 auf Übungszettel 10 hergeleiteten Eigenschaften der Spur.
(b) Zeige, dass die drei (normierten) Paulimatrizen
1
σ̂x = √
2
0
1
1
0
1
σ̂y = √
2
;
0
i
−i
0
1
0
1
σ̂z = √
2
;
1
0
0
−1
zusammen mit der (normierten) Einheitsmatrix
1
1
σ̂0 ≡ √ · 1 2 = √
2
2
0
1
eine Orthonormalbasis des Hilbertraums H2 bezüglich des Hilbert-Schmidt Skalarprodukts bilden. Begründe
warum die Messung der Erwartungswerte bezüglich der drei Paulimatrizen eine zweidimensionale Dichtematrix
ρ̂ eindeutig bestimmt.
Hinweis:
bestimmt.
Ein Element eines Vektorraums ist eindeutig durch seine Projektion auf eine Orthonormalbasis
Diese Projektionen können in einem Vektorraum durch Skalarprodukte mit dem enstprechenden
Basiselement berechnet werden. Überlege insbesondere welche Rolle
hσ̂0 i
spielt.
(c) Deniere die Observablen
Â1 =
3
0
0
−1
;
Â2 =
1 1
1 −1
;
Â3 =
0
2i
−2i 0
Bestimme die zweidimensionale Dichtematrix ρ̂ zu folgenden Erwartungswerten (τ ∈ [−1, 1]) bezüglich dieser
Observablen
D E
D E
D E
Â1 = 1 + 2τ ;
Â2 = τ ;
Â3 = 0
Begründe warum auch die Messung bezüglich der drei Observablen Â1 , Â2 , Â3 eine Dichtematrix ρ̂ eindeutig
bestimmt.
σ̂0 , Â1 , Â2 , Â3 linear unabhängig sind. Daraus folgt (lineare
existiert, sodass
Hinweis: Zeige zunächst, dass die vier Matrizen
Algebra), dass eine invertierbare Matrix
λ

σ̂0
 Â1 




 Â2  = λ · 
Â3




σ̂0


σ̂1 
⇒

σ̂2 


σ̂3
1
Dhσ̂0 iE
Â1
D E
Â2
D E
Â3






=λ·




hσ̂0 i
hσ̂1 i 
,
hσ̂2 i 
hσ̂3 i
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wobei der Erwartungswert in der zweiten Gleichung bezüglich einer beliebigen, zweidimensionalen Dichtematrix
ρ̂
berechnet wird. Warum kann man die zweite Gleichung mit den Erwartungswerten aus der ersten Gleichung
schlussfolgern und wieso folgt daraus, dass eine Dichtematrix
Â3
ρ̂
eindeutig durch die Messung von
Â1 , Â2
und
bestimmt ist?
Aufgabe 2 - Freies Teilchen im Magnetfeld (12 Punkte)
Betrachte den Hamiltonoperator für ein Teilchen der Masse m, das sich in einem Magnetfeld bendet, welches durch
~ˆ charakterisiert ist
den Operator des Vektorpotentials A
ĤB =
2
1 ˆ
~ˆ
p~ + eA
2m
~ˆ = −B ŷ · ~ex mit dem Ortsoperator in y-Richtung ŷ sowie dem Betrag des
(a) Benutze die Landau-Eichung A
Magnetfelds B . Benutze mit kx , kz ∈ R den folgenden Ansatz in der Ortsdarstellung
Ψ (x, y, z) = e−i(kx x+kz z) ϕ (y)
zur Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung mit dem Hamiltonoperator ĤB , um folgende Eigenwertgleichung für ϕ (y) zu erhalten
−
1 2
~2 kz2
~2 d2
2
ϕ
(y)
+
ω
(y
+
y
(k
))
ϕ
(y)
+
ϕ (y) = Eϕ (y)
0
y
2m dy 2
2 c
2m
(1)
Finde die Ausdrücke für ωc und y0 (ky ).
(b) Deniere ȳˆ = ŷ − y0 und zeige, dass sich Gleichung (1) als
1 2 1 2
~2 kz2
p̂y − ωc ȳˆ +
2m
2
2m
ϕ (y)
= Eϕ (y)
schreiben lässt.
(c) Begründe warum das Problem aus Teilaufgabe (b) mit dem Fall eines eindimensionalen harmonischen Oszillators äquivalent ist und bestimmte mit Hilfe dieser Äquivalenz die Eigenfunktionen und Eigenwerte von
ĤB .
Aufgabe 3 - Zeitentwicklung im harmonischen Oszillator (24 Punkte)
Betrachte ein Teilchen der Masse m in einem harmonischen Oszillator der Frequenz ω . Dies entspricht dem
Hamiltonoperator
Ĥ = ~ω n̂ +
1
2
Zum Zeitpunkt t = 0 soll es durch das Gauÿ'sche Wellenpaket
Ψ (x, 0) =
mω 41
mω
e− 2~ (x−x0 )
2
~π
beschrieben werden.
(a) Schreibe durch Entwicklung nach den Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators ϕn (x) dieses Wellenpaket
in der Form
X
Ψ (x, 0) =
αn ϕn (x)
n
mit den Koezienten αn ∈ C. Leite dazu, unter Benutzung der Braket-Notation, den Ausdruck
ˆ
hx | Ψ (0)i =
X
∞
hx | ϕn i
−∞
n
2
D 0E D 0 E
0
ϕn x
x Ψ (0) dx
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her und identiziere die αn in dieser Darstellung. Das Ergebnis für die αn ist
„
αn =
mit den Denitionen x̄ ≡
q
Hinweis: Beweise (durch
n-malige
~
mω ,
0
0
x ≡ xx̄ , x0 ≡
0
x0
n
√
e
−
«
0 2
x0
4
2n n!
x0
x̄ .
partielle Integration) und benutze die Relation (x̃
ˆ
∞
2
e−(x−x̃) Hn (x) =
√
∈ R)
n
π (2x̃)
−∞
wobei
n
2
Hn (x) = (−1) ex
das
n-te
dn −x2
e
dxn
Hermite-Polynom ist.
(b) Berechne im Schrödingerbild die Zeitentwicklung dieses Wellenpakets mit Hilfe der Darstellung von Ψ (x, 0)
aus Teilaufgabe (a), mit anderen Worten berechne
Ψ (x, t) = U (t, 0) Ψ (x, 0)
wobei U (t, 0) der Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild ist. Das Ergebnis lässt sich schreiben als
Ψ (x, t) =
mω 41
e(B(x,t)−iA(x,t))
~π
wobei
A (x, t)
=
B (x, t)
=
0 2
x0
0 0
1
ωt + x x0 sin (ωt) −
sin (2ωt)
2
4
2
0
1 0
−
x − x0 cos (ωt)
2
Hinweis: Benutze (ohne Beweis) die Gleichungen

X
n
0
x0
2
0 1 0 n
e−iωnt Hn x
x
2n n! 0
=

exp −e−2iωt
cos (2ωt)
=
cos2 (ωt) − sin2 (ωt)
4

0 0

+ x x0 e−iωt 
(c) Berechne die zeitabhängigen Erwartungswerte hx (t)i sowie h∆x (t)i im Zustand Ψ (x, t) und zeige somit, dass
das gegebene Gauÿ'sche Wellenpaket in einem harmonischen Oszillator (im Vergleich zum freien Fall, siehe
Übungszettel 3) nicht zerieÿt, also eine zeitunabhängige Breite hat.
Optionale Zusatzaufgabe: Was passiert wenn die Breite des Gauÿ'schen Wellenpakets bei t = 0 nicht genau
~
mω ist? Um dies ohne weitere Rechnung zu untersuchen können die java applets auf der Vorlesungshomepage
zum Thema Oszillationen in einem harmonischen Potential benutzt werden.
3