quantisiert bohr
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128 Kapitel 12 Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für den harmonischen Oszillator Postulat: Für geschlossene klassische Bahnen gilt für ein Teilchen in einer Dimension die Bedingung p klassische Trajektorien (x(t),p (t)) im Phasenraum n F n x quantenmechanisch erlaubt Trajektorie Fn p dq n α h n 1 2 (12.1) α: nicht a-prion bestimmbare Konstante Fn : Fläche von der n-ten “quantenmechanisch erlaubten” Phasenraumtrajektorie eingeschlossen. (Phasenraumvolumen) 129 130KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNG F ÜR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR Für harmonischen Oszillator H k: Federkonstante p2 2m mω2 2 x 2 E ω k m (12.2) 131 Phasenraumbahnen sind Ellipsen p pmax = 2mE x max = 2E m ω² x Abbildung 12.1: pdx πpmax xmax En ω n En n pmax α h (12.3) α (12.4) 1 2 ω α 12 2mE 2 mω n 1 n 2 ∆p 2E mω2 2 mω (12.5) (12.6) (12.7) n 1 (12.8) (12.9) x0 Parität der Wellenfunktion x n Führe den Paritätsoperator ein P̂ f x f x P̂2 f x f x P̂2 1 Eigenwertgleichung P̂ ϕ x P̂ ϕ x 2 λ λ ϕ x λ ϕ x 2 ϕ x 1 zwei Eigenwerte (12.10) (12.11) (12.12) 132KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNG F ÜR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR mit Eigenfunktionen λ 1 1 ϕ x ϕ x : : ϕ x ϕ x ϕ x ϕ! x Paritätsoperator ist hermitesch "∞ ! dx $ P̂ Aus P̂2 dx ∞ ! "∞ dx ϕ # x P ψ x "∞ ! x ψ x dx ϕ # ∞ ∞ ! "∞ ∞ ϕ # x ψ x dx (12.13) dx P ϕ x # ψ x (12.14) P̂ 1 P̂P̂ P̂ ist unitär. Wir finden für den harmonischen Oszillator Ĥ P̂Ĥ d 2 mω2 2 2 x 2m dx P̂Ĥ Ĥ P̂ &% Ĥ P̂' Ĥ 2 (12.15) 0 (12.16) Ĥ und P̂ haben ein vollständiges gemeinsames Orthonormalsystem. Da Ĥ keine Entartung aufweist, ist dieses eindeutig durch n gegeben. Allgemein für 1d-Problem mit V x Parität gewählt werden. V x ($ % P H ' 0 Eigenfunktionen können mit definierter
