¨Ubungen zur Theoretischen Physik II Quantenmechanik I SS 2004

Übungen zur Theoretischen Physik II
Quantenmechanik I
SS 2004
Prof. H. Büttner
Blatt 9
Abgabe: Montag, 21. Juni 2004, bis 14 Uhr
vor Zi. 01.504
Aufgabe 29: Baker-Campbell-Hausdorff Lemma
(5 Punkte)
Zeigen Sie für zwei Operatoren A und B die Identität
eA Be−A = B + [A, B] +
1
1
[A, [A, B]] + ... + [A, ...[A, B ]...] +...
2!
n! | {z } |{z}
n mal n mal
Vorschlag: Taylor-Entwicklung von eλA Be−λA um λ = 0 (geht aber auch anders...).
Aufgabe 30: Erwartungswerte für kohärente Zustände
(3 Punkte)
In der Vorlesung wurde für einen kohärenten Zustand |αi der Ortserwartungswert hα|x|αi hergeleitet. Berechnen Sie die entsprechenden Erwartungswerte für die Operatoren x2 , p und p2 . Zeigen
Sie, dass die |αi Zustände minimaler Unschärfe sind.
Aufgabe 31: Zweidimensionaler isotroper harmonischer Oszillator
(4 Punkte)
Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m bewege sich im zweidimensionalen harmonischen
Potenzial
mω 2 2
x1 + x22
V (x1 , x2 ) =
2
(a) Verwenden Sie die kartesischen Koordinaten x1 und x2 , um die Eigenfunktionen des Systems
durch die Eigenfunktionen des eindimensionalen harmonischen Oszillators auszudrücken. Wie
lauten die entsprechenden Eigenwerte?
(b) Der Entartungsgrad eines Eigenwertes ist die Anzahl der linear unabhängigen Eigenfunktionen zu diesem Eigenwert. Bestimmen Sie den Entartungsgrad der Eigenwerte des zweidimensionalen harmonischen Oszillators.
(8 Punkte)
Aufgabe 32: Karikatur des Mößbauer-Effekts
Auf einen eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillator H = p2 /2m + mω 2 q 2 /2
wirke zur Zeit t = 0 ein Kraftstoß. Dieser hat zur Folge, dass der Oszillator vom normierten Zustand
|ψ0− i vor dem Einwirken der Störung in den normierten Zustand
1
|ψ0+ i = √ exp (ikq/~) |ψ0− i
N
übergeht mit k ∈
R.
(a) Zeigen Sie für den Operator Uk := eikq/~
(i) Uk ist unitär,
(ii) Uk ist der Translationsoperator bzgl. des Impulses, d. h. es gilt hp|Uk |ψi = hp − k|ψi,
wobei hp| ein Impulseigenzustand und |ψi ein beliebiger Zustand ist.
(b) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N > 0 für |ψ0+ i.
Verwenden Sie im folgenden (ohne Beweis) die Identität Uk f (p)Uk+ = f (p − k), wobei f (p) eine
beliebige Funktion des Impulsoperators p ist.
(c) Zeigen Sie, dass der Oszillator durch den Kraftstoß im Mittel einen Impulsübertrag k erfährt,
dass also gilt
k = hψ0+ |p|ψ0+ i − hψ0− |p|ψ0− i.
(d) Bestimmen Sie den mittleren Energiezuwachs des Oszillators
δE = hψ0+ |H|ψ0+ i − hψ0− |H|ψ0− i.
(e) Es wird nun speziell der Fall betrachtet, dass der Oszillator sich vor dem Kraftstoß im Grundzustand befindet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pn,0 , den Oszillator für t > 0 in einem
Eigenzustand |ni mit Energie E = ~ω(n + 1/2), n ∈ 0 , zu finden?
N